Las soluciones de Luis Gómez están en este enlace.

Yo tengo una solución alternativa al tercer problema:

Sean:

• D = distancia de la Tierra al Sol.
• R = radio solar.
• r = radio de la zona sobre la superficie terrestre que queremos dejar sombra.
• a = la altura del objeto que va a generar la sombra.
• x = la mitad del ancho del objeto que va a generar la sombra.
• Los ángulos \( \alpha,\beta,\gamma \text{ y } \delta\) según el esquema.

Suponemos que la zona de sombra es un disco plano de radio r cuyo punto central tiene al sol en su vertical y a una distancia D del Sol.

Entonces:

1. \(\delta=arcsen \dfrac{R}{D+R}\)

2. \(\beta = \dfrac{\pi}{2}-\delta\)

3. \(\alpha = arctg \dfrac{r}{2(D+R)}\)

4. \(\gamma=\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta\)

5. \(tg\gamma = \dfrac{x}{a+y}\)

6. \(tg\gamma = \dfrac{r}{y}\)

7. Despejando de 5. \(y = \dfrac{r}{tg\gamma}\)

8. Sustituyendo en 6 y despejando: \(x = \left(a + \dfrac{r}{tg\gamma}\right) tg \gamma\)

9. Simplificando: \(x = a tg \gamma +r\)

10. Entonces x queda, en función de los datos iniciales:

\[x = a tg \left(arcsen \dfrac{R}{D+R}-arctg \dfrac{r}{2(D+R)} \right) +r\]