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► Problemas |
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Termino general para la suma de los cuadradosSe trata de hallar un término general para la suma \(1^2+2^2+3^2+...+n^2\)
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Me lo plantea Taras. | ||||
Sea \(S=\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}\) Sabemos que \(1^2=1\) \(2^2=1+3\) \(3^2=1+3+5\) \(4^2=1+3+5+7\) Si lo sumamos todo en vertical, tendremos cuatro unos, tres treses, dos cincos y un siete. En general: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{(n-i)(2i+1)}\) Operando: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{2ni+n-2i^2-i}=2n\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2\sum_{i=0}^{n-1}{i^2}-\sum_{i=0}^{n-1}{i}\) Es onvio que \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}{i^2}=S-n^2\) Sustituyendo: \(S=2n\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2(S-n^2)-\sum_{i=0}^{n-1}{i}\) Operando: \(S=(2n-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2S+2n^2\) Sabemos que: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}=\dfrac{(n-1)n}{2}\) Sustituyendo: \(S=(2n-1)\dfrac{(n-1)n}{2}+n·n-2S+2n^2\) Despejando: \[S=n^2+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}\]Obsérvese que la fracción es la suma de los n - 1 primeros cuadrados, y que nos podría servir para los n primeros cuadrados si empezásemos en el cero. |
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Sitio + o - matemático de Alberto Rodríguez Santos. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades. |