Sea \(S=\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}\)

Sabemos que

\(1^2=1\)

\(2^2=1+3\)

\(3^2=1+3+5\)

\(4^2=1+3+5+7\)

Si lo sumamos todo en vertical, tendremos cuatro unos, tres treses, dos cincos y un siete.

En general: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{(n-i)(2i+1)}\)

Operando: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{2ni+n-2i^2-i}=2n\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2\sum_{i=0}^{n-1}{i^2}-\sum_{i=0}^{n-1}{i}\)

Es onvio que \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}{i^2}=S-n^2\)

Sustituyendo: \(S=2n\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2(S-n^2)-\sum_{i=0}^{n-1}{i}\)

Operando: \(S=(2n-1)\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}+n\sum_{i=0}^{n-1}{1}-2S+2n^2\)

Sabemos que: \(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{i}=\dfrac{(n-1)n}{2}\)

Sustituyendo: \(S=(2n-1)\dfrac{(n-1)n}{2}+n·n-2S+2n^2\)

Despejando:

\[S=n^2+\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}\]

Obsérvese que la fracción es la suma de los n - 1 primeros cuadrados, y que nos podría servir para los n primeros cuadrados si empezásemos en el cero.