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Problemas
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Cuartos de final

Hay que emparejar ocho equipos para que se enfrenten en cuatro partidos. Si cinco de los equipos fuesen del mismo país, la probabilidad de que en un partido se enfrentasen dos equipos compatiotras sería, obvia mente, uno. ¿Cuál sería la probabilidad en el caso de que fuesen tres los equipos del mismo país?

 

Solución

 

Alfredo nos propone este problema y avisa: ¿qué pasa si se aplica el mismo método al caso de cinco equipos?  
 
 





SOLUCIÓN
Se me ocurren dos formas de resolverlo:

A) Considero que voy sacando bolitas con los nombres de los equipos para formar ordenaciones de modo que los dos primeros juegan un partido, los dos siguientes otro partido y así. Sé que el orden de los partidos no importa, pero si hago lo mismo en los casos favorables y los casos posibles, las repeticiones se compensan.
Con tres equipos, ¿cuántos emparejamientos favorables tengo para el primer partido?: 6. Como son cuatro partidos, 24.
Así: 

\[P=\dfrac{24·permutaciones\ de\ seis\ equipos}{permutaciones\ de\ ocho\ equipos}=\dfrac{24·6!}{8!}=\dfrac{3}{7}\]


B) A lo bestia: numero los equipos del 1 al 8. Los del mismo país son 1,2,3.

Casos posibles: 7·5·3·1 = 105
Casos favorables: para el emparejamiento 1-2 hay 5·3 posibilidades, por lo que, en total, tenemos 3·5·3 = 45
\[P = \dfrac{45}{105}=\dfrac{3}{7}\]

 
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