► Archivo GeoGebra
► Bibliografía: Elementos, p.201.

Todo parece correcto, ¿verdad?

Sin embargo, hay que tener en cuenta que los Elementos pretenden no dar por sentado nada que no esté explicitado en sus definiciones, postulados y nociones comunes. Si volvemos a leer la demostración con esta idea presente veremos que Euclides supone algo que no se ha explicitado, y es que existe un punto C "donde los círculos se cortan entre sí". Esta suposición implica que los círculos (las circunferencias, en la terminología moderna) no tienen huecos, lo cual no es cierto si, por ejemplo, nos movemos en el cuerpo de los números racionales (si no te convence esto, halla los puntos de corte de las circunferencias \((x-1)^2+y^2=4; (x+1)^2+y^2=4\) ¿Son racionales?).

Esta pifia nos habla de la tremenda fuerza que tenían los gráficos en las demostraciones euclidianas y lo peligroso que puede ser fiarse demasiado de ellos: intuitivamente es obvio que dos cincunferencias como las del esquema se cortan, porque, en el gráfico, las líneas que hemos dibujado para representarlas efectivamente se cortan.

Dedekind resolvería el problema incluyendo un postulado de continuidad.

Nota: Txarli me hizo ver que las circunferencias \((x-1)^2+y^2=3; (x+1)^2+y^2=3, que son las que propuse en un principio, no cumplían con lo dicho en la proporsición.