do |
528 |
2/1 |
|
|
↑ |
|
16/15 |
si |
495 |
15/8 |
|
|
↑ |
|
9/8 |
la |
440 |
5/3 |
|
|
↑ |
|
10/9 |
sol |
396 |
3/2 |
|
|
↑ |
|
9/8 |
fa |
352 |
4/3 |
|
|
↑ |
|
16/15 |
mi |
330 |
5/4 |
|
|
↑ |
|
10/9 |
re |
297 |
9/8 |
|
|
↑ |
|
9/8 |
do |
264 |
1/1 |
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Escala
bien temperada
Según se cuenta en Historias
matemáticas, Pitágoras encontró que la longitud de las cuerdas que producían sonidos
armonicos mantenían relaciones numéricas simples entre sí.
Esto mismo se puede ver en las frecuencias correspondientes a los sonidos
de la escala de do mayor, indicadas en la segunda columna de la
tabla, y las razones correspondientes a cada frecuencia respecto de la
frecuencia del do bajo (264).
En la columna derecha están escritos los factores por los que
hay que multiplicar una frecuencia para obtener la superior. Por un lado
tenemos dos factores bastante parecidos, 9/8 y 10/9, y otro bastante más
pequeño, 16/15. A los dos grandes se les llama tonos y al
pequeño, semitono. De este modo, los intervalos (distancia
entre notas) de la escala de do mayor serían tono-tono-semitono-tono-tono-tono-semitono.
Hasta aquí está todo muy bien, pero tenemos un problema,
la afinación de ciertos instrumentos, como los teclados. Puede
ser que se quiera interpretar una composición en una escala distinta,
por ejemplo para hacerla más aguda y adaptarla a la tesitura de
un cantante particular. Empecemos en re en vez de en do:
el primer paso no da demasiados inconvenientes: aunque el paso de re a mi tiene un factor de 9/8 en vez de los 10/9 del paso de do a re, la diferencia puede asumirse. Lo malo viene cuando queremos
dar el siguiente salto, que también debe ser de un tono completo.
Pero es que detrás de mi va fa, un semitono, con
lo cual deberemos juntar dos semitonos. Pero eso implica realizar la multiplicación
(16/15)·(16/15) = 256/225 = 1,138, valor muy alejados de los tonos
disponibles, 9/8 = 1,125 o 10/9 = 1,111.
La solución adoptada, que Bach se encargaría de
universalizar, fue de compromiso: hagamos que todos los semitonos sean
iguales. Sabemos que para pasar de una nota a su octava superior hay que
multiplicar la frecuencia por dos. Si queremos consegir lo mismo pero
con doce saltos, es decir, con doce semitonos, la frecuencia x correspondiente a cada semitono, se obtendrá de la ecuación:
x12 = 2, que nos da para x el valor: \(\sqrt[12]{2}=1,059\).
A esta nueva escala artificalmente construida se le llama escala bien
temperada.
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