Raíces infinitas

\[2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}\]

Lo que me gustaría saber es si esta fórmula ya se conoce y si existe algo más general sobre este tipo de expresiones (raíces infinitas)."

Faustino Lobo Fernández.

La fórmula que señalas es un caso concreto de todo un tipo de fórmulas obtenidas por recurrencia, como la que has visto en Epsilones para la razón áurea.

A estas fórmulas se puede llegar de varias maneras:

1. Se define por recurrencia una sucesión y se calcula su límite:

\(a_1=\sqrt2\)

\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\)

El cálculo del límite es muy sencillo:

Si

(1) \(L=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}\)

entonces

(2) \(L=\sqrt{2+L}\)

Elevando al cuadrado:

(3) \(L^2=2+L\),

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones L = 2 y L = -1.

L = -1 no cumple (2), luego la unica solución válidad es L = 2, lo que nos da la fórmula

(4) \(2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}\).

2. Se genera la fórmula a partir de una fórmula cierta:

Se parte de : \(2=\sqrt4\)

o, lo que es lo mismo, \(2=\sqrt{2+2}\).

Sustituyendo el 2 de la derecha por el valor que nos da la fórmula para el dos de la izquierda, tenemos:

\(2=\sqrt{2+\sqrt{2+2}}\)

Repitiendo el proceso hasta el infinito, tenemos de nuevo la fórmula (4).

(Algo parecido se hace en Fórmulas)

3. Se plantea una ecuación con la fórmula deseada y se busca su solución:

Si

(1) \(x=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}\)

entonces

(2) \(x=\sqrt{x+x}\)

Elevando al cuadrado,

(3) \(x^2=2x\),

ecuación de segundo grado que tiene por soluciones x = 2 y x = 0.

x = 0 es una trivialidad. Pero x = 2 nos da de nuevo la fórmula buscada.

(Algo semejante se hace en Problemas)

La parte de la matemática que se ocupa de procesos infinitos como las sucesiones es el análisis matemático, que también se ocupa de las funciones y del cálculo diferencial e integral.

No puedo decirte cuándo fue la primera vez que se mencionó esta fórmula porque no lo sé, pero estoy por asegurar que no se sabe, como no se sabe quién expresó por primera vez la razón áurea mediante raíces infinitas.