Potencias de exponente fraccionario

¿Cómo se puede interpretar las expresión \(5^{\frac{1}{2}}\)?

Si la multiplicamos por sí misma, se tiene: \(5^{\frac{1}{2}}·5^{\frac{1}{2}}=5^1=5\)

Ahora bien, si un número multiplicado por sí mismo da 5 es que se trata de la raíz cuadrada de cinco:

\((5^{\frac{1}{2}})^2=5\Rightarrow 5^{\frac{1}{2}}=\sqrt5\)

Hacemos lo análogo con exponente un tercio: \(5^{\frac{1}{3}}·5^{\frac{1}{3}}·5^{\frac{1}{3}}=5^1=5\).

Por tanto: \((5^{\frac{1}{3}})^3=5\Rightarrow 5^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5}\)

En general, para \(a\geq 0\) \[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]

Sea ahora \(5^{\frac{2}{3}}\).

Expresándolo como potencia de potencia se tiene: \((5^{\frac{1}{3}})^2\)

Aplicando lo anterior, se tiene: \(5^{\frac{2}{3}}=(5^{\frac{1}{3}})^2=(\sqrt[3]{5})^2=\sqrt[3]{5^2}\)

En general, para \(a\geq 0\) \[a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}\]

Potencias de exponente negativo

¿Cómo se puede interpretar las expresión \(5^{-3}\)?

Multiplicando por cinco al cubo se tiene \(5^{-3}·5^3=5^0=1\)

Despejando, \(5^{-3}=\frac{1}{5^3}\)

En general, para \(a \neq 0\) \[a^{-p}=\frac{1}{a^p}\]