a) Sencillo: al área del rectángulo le restamos el área de los dos círculos y el resultado se divide entre dos.

\(A_r=20·10=200\ cm^2\)

\(A_c=\pi·5^2=25\pi\ cm^2\)

\(A=\dfrac{200-50\pi}{2}\ cm^2=100-25\pi\ cm^2\)

b) Ahora la cosa se complica: tenemos que calcular el área del pequeño triángulo curvilíneo verde de la figura y después restársela al área obtenida en el apartado a).

Para calcular dicha área vamos a restarle al triángulo azul

la luneta naranja y el triángulo curvilíneo rosa.

 

1. Triángulo azul:

\(A_{ta}=\dfrac{10·5}{2}=25\ cm^2\)

2. Triángulo curvilíneo rosa: al área de un cuadrado le quitamos la de un círculo y dividimos entre 4:

\(A_{tcr}=\dfrac{100-25\pi}{4}\ cm^2\)

3. Segmento circular naranja:

Para obtener su área vamos a restarle al área del sector circular azul

el área del triángulo isósceles marrón.

 

3.1 Área del triángulo isósceles marrón:

\(sen\alpha=\dfrac{h}{5} \Rightarrow h=5sen\alpha\)

\(cos\alpha=\dfrac{b}{5} \Rightarrow b=5cos\alpha\)

\(A_{tim}=\dfrac{2·5cos\alpha·5sen\alpha}{2}=25sen\alpha cos\alpha\)

Como

\(sen \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(cos \alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

tenemos:

\(A_{tim}=25\dfrac{2}{\sqrt{5}}·\dfrac{1}{\sqrt{5}}=10\)

3.2 Área del sector:

\(A_s=\dfrac{\pi 5^2·(\pi-2\alpha)}{2\pi}=\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}\)

3.3 Área del segmento circular naranja:

\(A_{scn}=\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10\)

Ya podemos calcular el área del triángulo curvilíneo verde:

\(A_v=A_{ta}-A_{tcr}-A_{scn}=25-\dfrac{100-25\pi}{4}- (\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10)\)

Restándole esta área a la del apartado a) tenemos la solución del problema:

\(A=100-25\pi-(25-\dfrac{100-25\pi}{4}- (\dfrac{25(\pi-2\alpha)}{2}-10))\)

Solo falta resolver \(\alpha\), pero esto es fácil:

\(\alpha=tg^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

\(A=90-\dfrac{75\pi}{4}-25·tg^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=19,5\ cm^2\)