Sea el prado la circunferencia de centro P y radio r. Sea O el punto donde está el poste al que se va a atar la vaca y R la longitud de la cuerda.

Se desprende de las figuras que:

\({\rm sen}\alpha=\dfrac{h}{r}\Rightarrow h=r·{\rm sen}\alpha\)

Área triángulo OPS = \(\dfrac{R·h}{2}=\dfrac{R·r·{\rm sen}\alpha}{2}\)

Área triángulo OQS = \(\dfrac{\pi R^2}{2\pi}\alpha=\dfrac{\alpha R^2}{2}\)

Área sector POS = \(\dfrac{\pi r^2}{2\pi}\beta=\dfrac{\beta R^2}{2}\)

Es obvio, además, que:

1) \(\beta=\pi-2\alpha\)

2) \({\rm cos}\alpha=\dfrac{R}{2r}\Rightarrow R= 2r·{\rm cos}\alpha\)

El área de la zona a la que tiene acceso la vaca es igual a dos veces el sector OQS, más dos veces el sector POS, menos dos veces el triángulo OPS (porque lo contamos dos veces al coger los sectores). Como queremos que sea la mitad del prado, tenemos la ecuación:

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=2\dfrac{\alpha R^2}{2}+2\dfrac{\beta r^2}{2}-2\dfrac{R·r·{\rm sen}\alpha}{2}\)

Es decir:

3) \(\dfrac{\pi r^2}{2}=\alpha R^2+\beta r^2-R·r·{\rm sen}\alpha\)

Sustituyendo 1) y 2) en 3) tenemos:

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=\alpha (2r·{\rm cos}\alpha)^2+(\pi-2\alpha) r^2-(2r·{\rm cos}\alpha)·r·{\rm sen}\alpha\)

\(\dfrac{\pi r^2}{2}=4\alpha r^2{\rm cos}^2\alpha+(\pi-2\alpha) r^2-2r^2·{\rm cos}\alpha·{\rm sen}\alpha\)

Dividiendo entre \(r^2\) y simplificando:

\(4\alpha{\rm cos}^2\alpha-{\rm sen}2\alpha+\dfrac{\pi}{2}-2\alpha=0\)

Por tanto \(R=2·r·{\rm cos}(0,9528478646)\) y

R=1,158728473·r