Podríamos hacer uso de artillería pesada y liarnos con la trigonometría, pero vamos a resolver el problema con argumentos más visuales: en vez de una única pirámide, imaginemos dos, una junto a la otra (ver figura), y pensemos en el solido necesario para "llenar" el hueco que hay entre ambas, el tetraedro ABCD.

1. Excepto la arista CD, todas las demás aristas del tetraedro son aristas también de las pirámides, luego por hipótesis son todas de igual longitud.
2. Los puntos C y D, cúspides de las pirámides, se proyectan ortogonalmente sobre los puntos centrales de cada una de las bases cuadradas, de donde se deduce que distan entre sí lo mismo que, por ejemplo, los puntos A y E.
3. De 1. y 2. se concluye que todas las aristas del tetraedro ABCD son de igual longitud: es decir, que sus caras son triángulos equiláteros iguales a las caras laterales de las pirámides. De otra manera: se trata del tetraedro del enunciado.
4. Lo triángulos ADE y AFC son coplanarios. Entonces los puntos A, C, D y E también lo son. Por lo tanto, la cara ADE de la pirámide izquierda y la cara ACD del tetraedro formarán, al unirse ambos sólidos, una única cara.

Conclusión: el sólido resultante tiene cinco caras, las mismas que la pirámide original: