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Agujero cilíndrico en una esfera

Se hace un agujero cilíndrico a través de una esfera de modo que el eje del cilindro pase por el centro de la esfera. Si la altura del hueco cilíndrico resultante es h, ¿cuál es el volumen restante?

 

Solución

 

Nota: no, no faltan datos.

Alfredo nos propone este interesante vídeo acerca del problema.

Bibliografía

 
 
 





SOLUCIÓN
La siguiente solución se basa en la enviada por Juan F. López:

Sean:

  • \(a=\dfrac{h}{2}\), donde h es la altura del cilindro
  • R = 'Radio de la esfera'
  • r = 'radio del cilindro'

Calculamos el radio del cilindro: \(R^2=r^2+a^2 \Rightarrow r=\sqrt{R^2-a^2}\)

Calculamos la ordenada y en función de x: \(R^2=x^2+y^2 \Rightarrow y=\sqrt{R^2-x^2}\)

Para cada x, si cortamos el cuepo con un plano perpendicular el eje del cilindro, el resultado es una corona circular con radio mayor y, y radio menor r. Su área será entonces:

\[\pi \sqrt{R^2-x^2}^2-\pi \sqrt{R^2-a^2}^2=\pi(a^2-x^2)\]

Integrando entre -a y a, tenemos el volumen buscado:

\[V=\displaystyle \int_{-a}^a {\pi(a^2-x^2)dx}=\pi\left[a^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]^a_{-a}=\dfrac{4}{3}\pi a^3\]

Que resulta ser el volumen de una esfera de diámetro h. Y esto con independencia del radio de la esfera y, por tanto, de la anchura del cilindro.

 
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