Sean:

• \(a=\dfrac{h}{2}\), donde h es la altura del cilindro
• R = 'Radio de la esfera'
• r = 'radio del cilindro'

Calculamos el radio del cilindro: \(R^2=r^2+a^2 \Rightarrow r=\sqrt{R^2-a^2}\)

Calculamos la ordenada y en función de x: \(R^2=x^2+y^2 \Rightarrow y=\sqrt{R^2-x^2}\)

Para cada x, si cortamos el cuepo con un plano perpendicular el eje del cilindro, el resultado es una corona circular con radio mayor y, y radio menor r. Su área será entonces:

\[\pi \sqrt{R^2-x^2}^2-\pi \sqrt{R^2-a^2}^2=\pi(a^2-x^2)\]

Integrando entre -a y a, tenemos el volumen buscado:

\[V=\displaystyle \int_{-a}^a {\pi(a^2-x^2)dx}=\pi\left[a^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]^a_{-a}=\dfrac{4}{3}\pi a^3\]

Que resulta ser el volumen de una esfera de diámetro h. Y esto con independencia del radio de la esfera y, por tanto, de la anchura del cilindro.