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Palacio Potala, Tibet.

Un paseo tibetano

Un monje sale a las ocho de la mañana de su monasterio tibetano y emprende el descenso hasta el pueblo más próximo. En el camino se detiene en diversas ocasiones para contemplar el paisaje o recoger plantas medicinales. Su velocidad varía, pues a veces, concentrado en sus pensamientos, apenas si camina, mientras que otras, impulsado por la pendiente, camino a un ritmo francamente vivo. Por fin llega al pueblo y decide pasar allí la noche.

Al día siguiente, a las ocho de la mañana, emprende el regreso al monasterio, que se ve refulgir en lo alto de la montaña. Cargado como va y cuesta arriba, es de entender que su paso sea mucho más lento, aunque igualmente variable, pues el monje salpica de nuevo el trayecto con diversas paradas y cambios de ritmo.

La pregunta es la siguiente: ¿existe algún punto del camino por el que el monje pase exactamente a la misma hora en la bajada y en la subida?

 

Solución

 

Nuevos pasatiempos matemáticos, p.288; Iniciación al caos, p.47.  
 
 





SOLUCIÓN
Sí lo hay.

1. Una forma muy sencilla de verlo es imaginar que en vez de un monje tenemos dos, y que ambos parten a la vez, uno del pueblo y el otro del monasterio. Es evidente que lleven el ritmo que lleven, en algún sitio se encontrarán.

2. Más técnicamente: sea f(t) la función que nos da la posición del monje en su descenso en función del tiempo t, y sea g(t) la función que nos da su posición en el ascenso. Restando ambas funciones tenemos una nueva función h(t) = f(t) - g(t) que toma valores de signo contrario en los extremos. Aplicando el teorema de Bolzano, existe un valor t0 para el que h(t0) = 0, de donde se tiene que f(t0) = g(t0). Listo.

3. Una gráfica de ambas funciones hace evidente la solución del problema:

 
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