Una tablilla mesopotámica adelantada a su tiempo

"One of the Yale Babylonian Collection's most famous objects is a nearly 4,000-year-old tablet that shows the Babylonians understood the "Pythagorean Theorem" over 1,000 years before Pythagoras lived."

Esto afirma una noticia aparecida en YaleNews. En el lado izquierdo de la siguiente imágen vemos una tablilla de arcilla que muestra un cuadrado con sus dos diagonales y una serie de caracteres cuneiformes. A la derecha tenemos la traducción de dichos caracteres, que resultan ser números (observese que las decenas son ángulos mientras que las unidades son simples cuñas).

Fuente

Teniendo en cuenta que los babilónicos utilizaban un sistema de notación sexagesimal, vamos a expresar las tres cantidades en notación fraccionaria y, de paso, les vamos a dar nombre. Después se verá el porqué.

• l = 30
• \(r_2\) = \(\text{1, 24 51 10} = 1 + \dfrac{24}{60}+\dfrac{51}{60^2}+\dfrac{10}{60^3}\)
• d = \(\text{42, 25 35} = 42+\dfrac{25}{60}+\dfrac{35}{60^2}\)

Resulta que se da que \(l·r_2\) coincide exactamente con d. Como sabemos que en todo cuadrado \(d=\sqrt{2}·l\), es razonable pensar que la tablilla representa el cálculo de la longitud de la diagonal de un cuadrado a partir de su lado, siendo l dicho lado, \(r_2\) la raíz cuadrada de dos y d la diagonal del cuadrado.

La pregunta ahora es, ¿cómo resolvieron el problema? Más concretamente: ¿cómo sabían que en un cuadrado siempre se da que \(d=\sqrt{2}·l\)? Lo cierto es que la tablilla no nos da ninguna pista a este respecto: solo muestra los datos y el resultado.

Por especular un poco, vamos a plantear tres posibles escenarios:

1) Los babilónicos conocían en ese momento el teorema de Pitágoras.

Con el teorema de Pitágoras el resultado es una obviedad. Aplicándolo sobre la figura siguiente

se tiene \(d^2=l^2+l^2\)

Sumando: \(d^2=2·l^2\)

Y, tomando raíces, \(d=\sqrt{2}·l\)

2) Los babilónicos conocían un resultado mucho más débil, el que dice que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro tiene área doble. Basta fijarse en la figura siguiente para entender que el área del cuadrado grande es el doble que el área del cuadrado pequeño (sí: esto es lo que le hace recordar Sócrates al esclavo de Menon).

Es decir, que \(d^2=2·l^2\).

Tomando raíces, \(d=\sqrt{2}·l\).

3) Un tercer supuesto sería pensar que el autor de la tablilla no aplicó ningún conocimiento teórico como los expuestos, sino un resultado experimental. Estamos tan acostumbrados a las matemáticas emanadas de la antigua Grecia, con sus axiomas, teoremas y demostraciones que se nos olvida que durante milenios las matemáticas fueron empíricas. El resultado \(d=\sqrt{2}·l\) puede obtenerse de modo experimental.

¿De dónde sacó el autor de la tablilla el resultado \(d=\sqrt{2}·l\)? No tengo ni idea: podría ser cierto cualquiera de los tres escenario, o muchos otros, pero lo cierto es que lo grabado en la tablilla no permite decantarnos por un método en particular.

Con esto no pretendo decir qué sabían o no los babilónicos, asunto que sigue siendo objeto de debate entre los estudiosos (ver, por ejemplo, las distintas teorías acerca del contenido de la tablilla Plimpton 322). Tan solo digo que de la tablilla no se deduce que "los babilonios conocían el teorema de Pitágoras 1000 años antes de que Pitágoras viviera", como se afirma en la noticia.

Además, ¿qué significa entender un teorema? ¿Conocer un puñado de casos particulares? ¿Afirmar a partir de un puñado de casos que se cumple siempre? ¿O demostrarlo? Si hablamos del teorema de Pitágoras es porque fue la escuela pitagórica la primera, mientras no se demuestre lo contrario, en demostrarlo.