La diagonal escalonada (\(2 = \sqrt2\))

En un cuadrado unidad se define la sucesión de "escaleras" que permiten llegar de un vértice del cuadrado al opuesto: E₀ sería entonces la primera línea roja (un ángulo); E₁ la segunda (dos ángulos); E₂ la tercera (cuatro ángulos), y así sucesivamente.

Definamos la distancia de cada escalera a la diagonal como la mayor de las distancias entre los puntos de la escalera y la diagonal. Es decir: para cada escalera se coge el punto que esté más alejado de la diagonal, se calcula su distancia y esa es la distancia de la diagonal a la escalera.

Para E₀, por el teorema de Pitágoras, se ve que el punto más alejado de la diagonal (el vértice inferior derecho del cuadrado) se encuentra a \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) unidades. Para E₁, dicha distancia es la mitad, es decir, \(\dfrac{\sqrt2}{4}\). Para E₂,\(\dfrac{\sqrt2}{8}\), y, en general, para E_n la distancia es \(\dfrac{\sqrt2}{2n+1}\).

Si hacemos tender n a infinito, la distancia máxima de las escaleras a la diagonal tiende a cero, con lo que queda demostrado que la sucesión de escaleras tiene a la diagonal.

Sin embargo, si se suman las longitudes de los segmentos que componen una escalera siempre se obtiene el mismo resultado: dos unidades. Esto implica que hemos construido una sucesión, la de las escaleras con un número creciente de peldaños, cuyos terminos valen todos 2, que tiende, sin embargo, a la diagonal, que mide (de nuevo por Pitágoras) raíz de 2.

Conclusión, \(2=\sqrt2\).