Cinta de Moebius - 2ª parte

Un buen día, preparando la visita a una exposición dedicada a M.C. Escher, les conté a mis alumnos de 4º de la ESO que para calcular el número de caras de un superficie un método es pintarla: si podemos hacerlo con un solo color sin saltarnos borde alguno es que tiene una cara. Si necesitamos dos colores, pues dos caras.

• Antes de seguir adelante, te sugiero lector que construyas una cinta de Moebius como se explica en la primera parte de esta práctica y pruebes a pintarla.

En efecto: para pintar la cinta de Moebius nos basta un solo color, prueba de que tiene una sola cara. Así las cosas, mis alumnos y yo nos fuimos a la citada exposición. Allí les hablé de los recubrimientos regulares del plano, de las metamorfosis, de las figuras imposibles, de los poliedros y, cómo no, de las cintas de Moebius. Ya habíamos pasado por el grabado reproducido a la izquierda, y que se titula Cinta de Moebio I, cuando Carmen se me acercó y me dijo: "profe, si las cintas de Moebius tienen una sola cara, ¿por qué esa está pintada de dos colores?".

Como tan sagazmente vio Carmen, en el dibujo de Escher se puede ver una superficie con dos caras, cosa que el holandés recalcó, para que no cupiese ninguna duda, pintándolas de distinto color. La siguiente pregunta era obligada: "¿Por qué llamó Escher Cinta de Moebio I a una superficie de dos caras?".

• Planteado el enigma, el lector interesado puede, antes de seguir adelante, intentar desentrañarlo.

Para resolver el misterio vamos a construir la superficie que aparece en Cinta de Moebius I.

El primer paso consiste en retorcer uno de los extremos de una tira de papel, no 180º como se hizo anteriormente, sino 540º, es decir, tres medias vueltas, y después unirlo al otro extremo. La superficie obtenida tiene una sola cara, como la cinta de Moebius a la que estamos habituados, pero más retorcida. Esto no supone ninguna diferencia para lo que nos ocupa. Posiblemente Escher optase por tres medias vueltas en vez de una para conseguir una simetría más rica.

El segundo paso consiste en realizar un corte longitudinal. Pero antes de darlo es interesante ver qué ocurre al realizar ese corte en tres superficies relacionadas:

1. Si tomamos una tira de papel y la cortamos longitudinalmente se obtienen, obviamente, dos tiras de papel igual de largas que la original pero la mitad de estrechas.

2. Si hacemos lo mismo con otra tira de papel que previamente hemos cerrado para formar un anillo obtendremos dos anillos.

3. Visto lo visto: ¿qué obtendremos si le damos el corte longitudinal a una cinta de Moebius?

4. ¿Y si se lo damos a una cinta de tres medias vueltas?

• La mejor forma de saberlo es construir dos cintas de Moebius, una con solo media vuelta y otra con tres medias vueltas, y después cortarlas. ¿Cuántas piezas se obtienen en cada caso?

Si todo ha ido bien, y supongo que con cierta sorpresa, el lector verá que tras el corte se obtiene en ambos ejemplos una única pieza, un único anillo. La cuestión ahora es:

• ¿Es el anillo obtenido una cinta de Moebius?

Aquí nos encontramos la solución del misterio: al cortar longitudinalmente una cinta de Moebius (da igual que sea de uno, tres o cualquier número impar de medias vueltas) se obtiene un anillo que pese a estar retorcido no es una cinta de Moebius, pues tiene dos caras, cosa que se puede comprobar pintándolas de distinto color.

Esta propiedad es, precisamente, la que refleja Escher en su grabado: al realizar el corte pero no estirar la cinta muestra como era antes del corte (una superficie de una sola cara); pero al pintar cada cara de un color distinto resalta el hecho de que ahora, tras el corte, en realidad tiene dos caras.

Y por si fuera poco les recorta tres pares de ojos para convertir la cinta en tres serpientes encadenadas en una extraña variación del tema del Ouroboros.

• Otras dos experiencias con cortes son las siguientes:

1. Corta una cinta de Moebius longitudinalmente. Corta de nuevo el anillo obtenido longitudinalmente. ¿Qué se obtiene?
2. Corta otra cinta de Moebius longitudinalmente, pero esta vez no por el centro, sino a un tercio de distancia del centro. ¿Qué se obtiene?