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"Una recta está dividida en extrema y media razón
cuando la recta es al segmento mayor lo que éste es al menor."
Los Elementos, libro II, proposición 11. Euclides. *** Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea, objeto de gran sencillez matemática y que, sin embargo, ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto que de la belleza se ha tenido en distintas épocas. En esta práctica vamos a construir algunos objetos geométricos relacionados con la sección áurea utilizando únicamente regla y compás, al viejo estilo, aunque primero vamos a obtener algebraicamente el valor de φ, que es la letra que se usa para designar a la sección áurea. *** Sección áureaSupongamos un segmento, que por comodidad consideramos de longitud 1, dividido en dos partes. Vamos a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento:Según la definición de Euclides, se tiene: \[\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{1-x}\] \[1-x=x^2\] \[x^2+x-1=0\] Resolviendo la ecuación se obtiene: \(x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\). Como la razón áurea es el cociente entre la longitud del segmento y el valor de x, tenemos: \(\phi=\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).. (Este valor se puede obtener directamente resolviendo la ecuación \(x^2-x-1=0\)). Rectángulo áureoPasemos a la regla y el compás y supongamos que partimos del segmento DA.
¿Qué hemos obtenido?
¿Serías capaz de probar todo lo anterior? Espiral áurea¿Por qué es tan importante la sección áurea en el arte? Es una pregunta difícil y no exenta de polémica (ver La sección áurea y la Gran Pirámide de Gizeh), pero no cabe duda de que la auto-reproductividad vista en la construcción anterior permite joyas como El Partenón, en las que la sección áurea proporciona un factor unificador para las medidas de los distintos elementos arquitectónicos y la consiguiente sensación de armonía.Un ejemplo matemático de lo anterior puede ser la espiral áurea, curva compuesta por una sucesión de cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea. La construcción es muy sencilla:
En muchos lugares aparece esta espiral al lado de alguna fotografía de concha de nautilus para que las comparemos. Lo cierto es que si las comparamos con cuidado veremos que son distintas pues, aunque se parecen, la espiral utilizada por muchas especies de moluscos no es esta espiral sino otra, aquella a la que Jacques Bernoulli llamó spira mirabilis, de la cual hay mucho, mucho que decir. |
► Historias matemáticas: Nautilus geómetra.
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