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Curvas mecánicas

Las curvas mecánicas son aquellas que se generan por el movimiento de un punto. La combinación de distintos movimientos da lugar a sorprendentes figuras que no siempre fueron bien vistas: para los griegos, carecían de la matemática pureza de las curvas geométricas. Más tarde, Descartes unificaría el tratamiento de unas y otras al aplicar el álgebra a la geometría.

A continuación se pueden ver algunas de las más sencillas y famosas.

Los que quieran explorar con más detalle estas curvas pueden descargar las construcciones de GeoGebra en los correspondientes enlaces.


Trocoide - cicloide

Arrastrando el punto naranja se mueve la rueda. Arrastrando el punto azul se puede modificar su distancia al centro de la rueda que lo soporta. Si el punto está en la circunferencia, la curva generada se llama cicloide o cicloide común. Si el punto está fuera del círculo que rueda, se trata de una cicloide alargada. Si el punto está en el interior, tenemos una cicloide reducida. Todas ellas son casos concretos de trocoides.

El botón Rastro permite ver cómo se genera la curva. Marcando la casilla Curva la vemos de una vez.

Para más información, ver en Curvas Cicloide.

► Archivo GeoGebra: Cicloide


Epitrocoide - epicicloide (y la cardioide)

Las epitrocoides son las curvas engrendradas por un punto de un círculo cuando este gira sin deslizamiento alrededor de otro círculo. Si el punto en cuestión está en la circunferencia que gira se llaman epicicloides. Y en el caso más concreto aún de que las dos circunferencias sean de igual radio, la curva se llama cardioide, que es la que se puede ver por defecto en la construcción siguiente.

La rueda gris se mueve sola: basta presionar el botón Animación. Para activar o desactivar las trayectorias de los puntos, tenemos el botón Rastro.

Los deslizadores de arriba a la izquierda controlan el radio de los círculos blanco y gris respectivamente: si los valores elegidos son iguales tendremos la cardiode. Para ver epitrocoides, se marca la casilla correspondiente y se mueve el círculo verde a la posición deseada.

Para más información, ver en Curvas Cardioide.

► Archivo GeoGebra: Epitrocoide


Hipotrocoide - hipocicloide

Las hipotrocoides son las curvas engrendradas por un punto de un círculo cuando este gira sin deslizamiento alrededor por el interior de otro círculo. Si el punto en cuestión está en la circunferencia que gira se llaman hipocicloides.

La rueda gris se mueve sola: basta presionar el botón Animación. Para activar o desactivar las trayectorias de los puntos, tenemos el botón Rastro.

Los deslizadores de arriba a la izquierda controlan el radio de los círculos blanco y gris respectivamente. Para ver hipotrocoides, se marca la casilla correspondiente y se mueve el círculo verde a la posición deseada.

Muy interesante, yo diría que asombroso, es lo que ocurre cuando el radio del círculo pequeño es exactamente la mitad del círculo grande. Esto ya lo vio Copérnico.

► Archivo GeoGebra: Hipotrocoide


Tractriz

Se puede entender como el resultado de un arrastre o de una persecución. En la construcción, arrastrando el punto naranja tiramos del punto azul. El botón Rastro permite ver cómo se genera la curva.

Para más información ver en Curvas Tractriz o curva del perro

► Archivo GeoGebra: Tractriz


Cuadratriz

Un segmento horizontal barre el cuadro de arriba a abajo a velocidad constante. Otro segmento gira desde la vertical hasta la horizontal a la misma velocidad (ambos segmentos recorren el cuadrado en el mismo tiempo). La cuadratriz es la trayectoria descrita por el punto de intersección de ambos segmentos.

Para más información, ver en Curvas Cuadratriz

Resulta interesante ver la curva completa: basta cambiar la escala en la siguiente imagen:

► Archivos GeoGebra: Cuadratriz-1; Cuadratriz-2.


Bibliografía

 
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Alberto Rodríguez Santos.
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