Se llama envolvente de una familia de curvas a una curva que
es tangente a cada una de ellas. Esta práctica consiste en obtener las tres cónicas no degeneradas a partir de sus tangentes. Doblando papel
trazaremos toda una familia de tangentes cuya envolvente será
la cónica buscada.
Solo se necesitan unas hojas de papel vegetal, una regla y un compás.
Elipse:
Dibujamos una circunferencia bastante grande.
- Dibujamos en su interior un punto cualquiera (que al
menos la primera vez procuraremos que no sea el centro).
- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de
la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser
la mediatriz del segmento XF).
- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de
modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de
la circunferencia.
- Lo que se obtiene es una elipse cuyos focos son el punto F
y el centro de la circunferencia.
Hipérbola:
Dibujamos una circunferencia bastante grande.
- Dibujamos en su exterior un punto cualquiera.
- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto de
la circunferencia y marcamos bien el doblez (que resulta ser
la mediatriz del segmento XF).
- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de
modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas de
la circunferencia.
- Lo que se obtiene es una hipérbola cuyos focos son
el punto F y el centro de la circunferencia.
Parábola:
Dibujamos un segmento horizontal en la parte inferior de la
hoja.
- Dibujamos por encima del segmento un punto F centrado horizontalmente
en la hoja.
- Unimos el punto anterior (F en la figura) con un punto del
segmento y marcamos bien el doblez (que resulta ser la mediatriz
del segmento XF).
- Repetimos el paso anterior tantas veces como sea posible de
modo que unamos el punto F con puntos de todas las zonas del
segmento.
- Lo que se obtiene es una parábola cuyo foco es el punto
F y su directriz la recta que contiene al segmento dibujado.
Una vez conseguido al menos un ejemplo de cada curva, nos podemos hacer
algunas preguntas:
- ¿Qué pasa cuando situamos el punto F en la misma circunferencia?
- ¿Qué pasa cuando situamos el punto F en el centro
de la circunferencia?
- ¿Qué les pasa a las elipses y a las hiperbolas cuando
alejamos o acercamos F a la circunferencia?
- ¿Qué le pasa a la parábola cuando alejamos
o acercamos F a la directriz?
- ¿Y cuando situamos F en la misma directriz?
Lo dicho puede hacerse también con GeoGebra. Por ejemplo, para la hipérbola, se dibuja una circunferencia, se dibuja un punto exterior F y se construyen las mediatrices de F y puntos de la circunferencia. Lo interesante es que podemos mover el punto F al interior de la circunferencia y ver cómo las hipérbolas se transforman en elipses.
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