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Dos triángulos: el de Pascal y el de Sierpinsky

Si hay algo que hace interesante el mundo es la existencia de relaciones entre asuntos aparentemente tan separados que encontrar una conexión entre ellos sorprende a nuestra escueta inteligencia. Aquí tenemos un estupendo ejemplo: resulta que si representamos gráficamente los números pares del Triángulo de Pascal obtenemos una versión finita del Triángulo de Sierpinsky.

La representación es la más simple que quepa imaginar: por cada número par se pinta un punto negro. Por cada número impar, uno blanco. Listo.

La figura obtenida es cuasi-fractal. Para que fuese realmente fractal habría que seguir representando filas del triángulo de Pascal e ir reduciendo la figura obtenida a medida que iba creciendo. Llevando el proceso al límite se obtendría el verdadero triángulo de Sierpinsky.

Otras configuraciones interesantes se obtienen pintando de negro los lugares correspondientes a números que sean múltiplos de otras potencias de dos.

Para los vagos, copio a continuación la rutina en C++ con la que generé la figura de arriaba

const lon=400;
int i,j;
int tabla[lon][lon];
div_t resto;

for (i=0;i<lon;i++) {tabla[i][0]=1;}for (i=1;i<lon;i++)

{
for (j=1;j<i+1;j++)

{
tabla[i][j]=tabla[i-1][j-1]+tabla[i-1][j];
}
}
for (i=0;i<lon;i++)
{
for (j=1;j<i+1;j++)
{
resto = div(tabla[i][j],2);
if (resto.rem==0)
{
memDC.SetPixel(j+10,i+10,RGB(0,0,255));
}
}
}

Carnaval Matemático, p.216.

 
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