Por Luis Gómez (revisión de A.)

Una espiral y un poema

Hace un buen tiempo ya, encontré en United States in Literature (pag.178/179) un poema de Oliver Wendell Holmes (1809-1894) titulado The Chambered Nautilus (El nautilus Camerado). Al final del poema había una extraña espiral con una leyenda (A chambered nautilus By William Franklin McMahon). La figura era similar a la siguiente:

Por alguna extraña razón sentí que aquellos versos y aquella figura encerraban más que una historia, así que por instinto copié los versos a mano, pero no la figura, que era soberbia.

Años después, hojeando una vieja enciclopedia me topé con algo familiar: una espiral, y junto a ella un nombre: René Descartes. Según se narraba, Descartes le había hablado a su amigo Mersenne (1638) sobre el descubrimiento de una curva con propiedades sorprendentes. La curva no se generaba por polinomios y era similar a esta:

La propiedad que interesó a Descartes de la espiral es que corta a todos los radios vectores trazados desde el polo bajo un mismo ángulo (dicho de otra manera: los segmentos que unen el polo y los puntos de la curva forman siempre el mismo ángulo con las tangentes correspondientes). Es decir, que se hallaba ante una espiral equiangular. ¿Y si el nautilo siguiera en su crecimiento dicho modelo?

Inmediatamente recordé la figura y el poema de Holmes (que dicho sea de paso es minucioso con la descripción del nautilo), hice comparaciones e investigué al respecto.

El nautilus

¡Pues si! El nautilo es un antiguo y sagaz matemático cuyos antepasados fueron casi los dueños de los primitivos océanos (hace 450 millones de años). Es un geómetra de primera línea. Es un cefalópodo, como el pulpo o la sepia, que habita en una concha en forma de espiral formada por varias cámaras unidas por tabiques (puede llegar a medir 18 cm de diámetro y su concha está forrada de nácar). A medida que el nautilo crece, como lo hace la curva de Descartes desde su origen, pasa de una cámara a otra. Lo hace isométricamente, o sea que sus cámaras aumentan de tamaño pero su forma es invariable. Por homotecia las cámaras se generan una tras otra con una relación de proporcionalidad poco común en la naturaleza. Puede habitar a 600 metros bajo las aguas y resistir grandes presiones hidrostáticas, debido a que las paredes aumentan de grosor de forma proporcional al radio de la concha. Para completar una vuelta completa necesita 18 cámaras...

Aproximaciones mediante arcos circulares

La espiral equiangular descrita por Descartes no puede dibujarse solo con regla y compás (como se verá, es una curva logarítmica). Sin embargo, disponemos de algunas buenas aproximaciones. Una de ellas es la llamada espiral de Durero, que el pintor y grabador construyó de la siguiente manera: dado un rectángulo áureo se divide este en un cuadrado y un rectángulo más pequeño (mediante una línea roja en la imagen). Es fácil ver que el nuevo rectángulo también es áureo, por lo que se puede repetir con él el proceso (línea verde) y continuar indefinidamente. Pues bien: los vértices obtenidos son puntos de una espiral como la descrita por Descartes. Para tener una aproximación a ella basta entonces unir dichos vértices mediante cuartos de circunferencia.

Un proceso parecido se puede realizar al revés: partiendo de dos cuadrados de longitud uno se van construyendo cuadrados de lado igual a la suma de los dos anteriores. Uniendo los vértices mediante arcos circulares tendremos de nuevo una aproximación a la espiral equiangular, y esta vez con el añadido de que los radios de los sucesivos arcos forman una sucesión de Fibonacci. Se le llama, cómo no, espiral de Fibonacci.

Resulta que la espiral nautílica (cosecha de Luis Gómez) se puede aproximar también tomando como base un triángulo isósceles con ángulos de 36º, 72º y 72º y construyendo sucesivos triángulos bisecando uno de los ángulos iguales (en la figura se empezaría con C para obtener D, luego se bisecaría B para obtener E y así sucesivamente). Los triángulos que se van obteniendo son todos semejantes, y cumplen que la razón entre los lados mayor y menor de cada uno de ellos es exactamente igual a la proporción áurea. Por ello se les llama triángulos áureos.

Tanto la espiral de Durero como esta con triángulos áureos son dos casos de un método general que utiliza el antiguo concepto de gnomon: en la figura anterior, el triángulo ACD sería un gnomon de BCD, pues BCD y ABC tienen la misma forma.

Como ya indicó D'Arcy Thompson en On Growth and Form, la importancia de esto para el nautilus es grande, pues su intención es crecer sin cambiar de forma. Y para ello, nada mejor que una espiral equiangular.

Jacques Bernoulli

Pero la historia tiene más tuercas, porque un antiguo conocido llamado Jacques Bernoulli (miembro de una familia de genios irrepetible) se maravilló tanto con esta curva que la llamó espiral mirabilis. Y no es para menos, si tenemos en cuanta algunas de las cosas que consiguió con la curva:

• La expresó en polares mediante el logaritmo: , donde c y k son constantes y θ es el ángulo de giro (lo cual justifica su otro nombre de espiral logarítmica).
• Verificó que mientras que el ángulo de giro aumenta en progresión aritmética, el radio correspondiente lo hace en progresión geométrica. Dicho de otra manera: la separación de las espiras aumenta al crecer el ángulo.
• Verificó su autosemejanza (es invariable bajo homotecia), lo que la emparenta con los fractales.
• Encontró que coincide con su evoluta, con su podaria, con su cáustica de reflexión y con su cáustica de refracción.

Tan orgulloso estaba de haber descubierto que la espiral permanece igual a sí misma bajo tantas transformaciones geométricas que pidió fuese grabada en su lápida junto a la expresión Eadem mutata resurgo ('aunque cambiada surjo de nuevo igual'). Y así se puede ver en la tumba del matemático en Basilea, aunque con una salvedad: el cantero cometió un lapsus y en lugar de la espiral logarítmica le dibujaron en la tumba una espiral de Arquímedes.

En su epitafio se lee:

Amado por su familia: Jacob Bernoulli, el incomparable matemático, más de 18 años profesor de la Universidad de Basilea, miembro de las Reales Academias de París y Berlín, famoso por sus escritos, por una enfermedad crónica, completamente lúcido hasta su muerte, en el año de gracia de 1705, el 16 de agosto, a la edad de 50 años y 6 meses, falleció esperando la resurrección.

Judith Stupan su mujer durante 20 años, ha erigido un monumento junto con sus dos hijos al marido y padre que tanto echan de menos.

The Chambered Nautilus

This is the ship of pearl, which, poets feign,

Sails the unshadowed main, --

The venturous bark that flings

On the sweet summer wind its purpled wings

In gulfs enchanted, where the Siren sings,

And coral reefs lie bare,

Where the cold sea-maids rise to sun their streaming hair.

 

Its webs of living gauze no more unfurl;

Wrecked is the ship of pearl!

And every chambered cell,

Where its dim dreaming life was wont to dwell,

As the frail tenant shaped his growing shell,

Before thee lies revealed, --

Its irised ceiling rent, its sunless crypt unsealed!

 

Year after year beheld the silent toil

That spread his lustrous coil;

Still, as the spiral grew,

He left the past year's dwelling for the new,

Stole with soft step its shining archway through,

Built up its idle door,

Stretched in his last-found home, and knew the old no more.

 

Thanks for the heavenly message brought by thee,

Child of the wandering sea,

Cast from her lap, forlorn!

From thy dead lips a clearer note is born

Than ever Triton blew from wreathèd horn!

While on mine ear it rings,

Through the deep caves of thought I hear a voice that sings: --

 

Build thee more stately mansions, O my soul,

As the swift seasons roll!

Leave thy low-vaulted past!

Let each new temple, nobler than the last,

Shut thee from heaven with a dome more vast,

Till thou at length art free,

Leaving thine outgrown shell by life's unresting sea!

 

Oliver Wendell Holmes (1809-1894)

The Complete Poetical Works of Oliver Wendell Holmes, ed. H. E. S. (Boston: Houghton, Mifflin, 1895)