El programa logicista

Gottlob Frege, matemático y lógico alemán, se había propuesto llevar a cabo el llamado programa logicista, consistente en deducir toda la matemática de la lógica y darle así la más sólida de las bases. Dicho programa había de realizarse en dos pasos, en el primero de los cuales se definirían los conceptos matemáticos en función de la lógica para después, en el segundo, demostrar los teoremas matemáticos usando únicamente la lógica.

Tras veinte años de trabajo, en 1902 Frege había terminado el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, con la que creía haber dado por fin, mediante la teoría de conjuntos, solución a la fundamentación lógica de la matemática. De hecho el libro estaba terminándose prácticamente de imprimir cuando Frege recibió una carta de Bertrand Russell en la que el inglés le explicaba que había encontrado una paradoja en la teoría de conjuntos. A Frege solo le dio tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia de la matemática:

"Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...”.

La paradoja de Russell

Por aquellos años, Russell y Whitehead, defensores como Frege del programa logicista, estaban enfrascados en la composición de su Principia Mathematica. Estaba el primero de ellos estudiando las paradojas que había hallado Cantor respecto del cardinal de la clase universal, cuando descubrió una mucho más sencilla, que es la que hoy lleva su nombre. Así lo contó el propio Russell en My philosophical development:

"Me parece que una clase a veces es, y a veces no es, un miembro de sí misma. La clase de las cucharitas de té, por ejemplo, no es otra cucharita de té, pero la clase de cosas que no son cucharitas de té es una de las cosas que no son cucharitas... [esto] me condujo a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, parecía, debían formar una clase. Me pregunté si esta clase es o no un miembro de sí misma. Si es un miembro de sí misma, debería poseer las propiedades que definen a dicha clase, que consisten en no ser miembros de sí mismas. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser un miembro de sí misma. Así cada alternativa lleva a su opuesta y existe una contradicción."

Resumiendo: había descubierto que considerar el conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos lleva a una contradicción. Otra forma de exponer la misma idea es mediante la paradoja del barbero, también de Russell: en un pueblo había un barbero que solo afeitaba a aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?

Como primera consecuencia, la paradoja de Russell se cargó el trabajo de Frege, pues este utilizaba el principio de comprehensión, el cual autoriza a pasar del concepto a la clase (es decir, que todo predicado razonable describe un conjunto), de modo que si la teoría de Frege fuese correcta el "conjunto de los conjuntos que no son miembros de sí mismos" debería de tener sentido.

Lo que le dijo Whitehead a Russell cuando este le contó su descubrimiento es bastante gráfico: "nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana". En cualquier caso, Russell creyó al principio que la paradoja no era más que una curiosidad, hasta que sus infructuosos intentos por resolverla durante más de un año le hicieron ver que se encontraba ante una cuestión fundamental.

La teoría de tipos

En 1902 Russell le manda la famosa carta al pobre Frege y se pone manos a la obra para encontrar una solución. Parecía claro que las dificultades aparecían con los conjuntos que son miembros de sí mismos. Tras enormes sufrimientos intelectuales y varios años de trabajo, Russell propone su teoría de tipos que, simplificando, consistente en organizar los conjuntos en niveles. Por ejemplo, los gatos serían objetos de primer nivel, los conjuntos de gatos de segundo (el conjunto de los siameses, el conjunto de los gatos negros), los conjuntos de conjuntos de gatos de tercero (el conjunto de las razas de gatos), y así sucesivamente. En esta jerarquía solo se puede decir que un objeto de nivel n es miembro de otro objeto solo si este es de nivel n+1. Un conjunto de gatos, por ejemplo los siameses, puede ser miembro de un conjunto de conjuntos de gatos, por ejemplo el conjunto de las razas de gatos, pero no puede ser miembro de otro conjunto de gatos, pues estos solo contienen gatos.

El fin del sueño logicista

Russell resolvió así la paradoja que él mismo había descubierto, pero los problemas para el programa logicista no había hecho más que empezar. De hecho, pronto se constataría que lo conseguido por Russell y Whitehead no era reducir la matemática a la lógica, sino a la lógica más la teoría de conjuntos.

En cualquier caso, el encargado de darle el golpe de gracia al sueño de Frege sería el lógico Kurt Gödel, quien demostró con su teorema de incompletitud que los sistemas formales del tipo de los descritos en los Principia Mathematica o son incompletos (no pueden demostrar todos los teorema ciertos) o son inconsistentes (contienen contradicciones). Vamos, que la matemática o no dice toda la verdad, o miente. Pero bueno, esto ya es otra historia.