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Historias matemáticas
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Rumbo fijo (la proyección de Mercator)

Hubo un tiempo, aunque parezca mentira, en el que el sistema GPS no existía. Por no existir ni siquiera existían relojes con la precisión suficiente para calcular la longitud del meridiano en el que uno se encontraba cuando viajaba por mar. Por eso, la mejor forma de navegar de un sitio a otro era calcular un rumbo fijo para todo el trayecto y mantenerlo.

Aunque en un principio se pensaba que estas líneas de rumbo fijo, llamadas también loxodromias, eran arcos de círculos máximos, el matemático portugués Pedro Nunes mostró en el siglo XVI que en realidad eran hélices esféricas que daban vueltas alrededor de los polos indefinidamente sin alcanzarlos nunca. En lo que se equivocó es en pensar que daban la mínima distancia entre dos puntos, lo cual era de lo más deseable para los marinos, claro.

Sin embargo, no es así. Las líneas que dan la mínima distancia entre dos puntos de una superficie se llaman geodésicas. Las de un plano son, obviamente, las rectas. Las de una esfera son las circunferencias de los círculos máximos, que son aquellos que comparten centro con la esfera. Es decir, que el camino más corto entre dos puntos de una esfera lo da la intersección entre dicha esfera y un plano que contenga su centro y ambos puntos.

Para ver qué pinta tiene una loxodromia contamos con el magnífico grabado de Escher que se ve a la derecha. Es de 1958 y se titula Espirales esféricas. No muestra una sino ocho líneas de rumbo fijo para distintos ángulos.

Otra alternativa es ejecutar el programa curvas3d.exe: con mucho menos arte pero más interactividad el programa permite ver líneas de rumbo fijo en 3 dimensiones y para cualquier ángulo (botón "hélice esférica").

Pese al error acerca de la distancia mínima, error que los marinos no enmendarían hasta que se dieron cuenta el siglo XIX que para acortar distancias lo mejor es seguir círculos máximos, lo cierto es que las loxodromias suponían un medio fiable para la navegación. El problema es que con las proyecciones utilizadas por aquel entonces en cartografía, la estereográfica o la cilíndrica, por ejemplo, las loxodromias eran muy dificiles de dibujar: recordemos que son hélices. Por eso Gerhard Kremer, más conocido como Gerardus Mercator, decidió buscar una tipo de proyección que diese sobre el plano las direcciones de las loxodromias. Su éxito fue absoluto, porque consiguió proyectarlas sobre el plano como líneas rectas. Esto significaba en la práctica que si un marino necesitaba saber el rumbo a seguir para ir desde desde un punto a otro de la Tierra le bastaría localizarlos sobre el mapa, unirlos con una línea recta y medir la inclinación de dicha línea respecto de la vertical, que indicaría el norte.

Para lograr tan extraordinaria proyección, capaz de conservar las direcciones (técnicamente hablaríamos de una aplicación conforme), Mercator tuvo que apañarselas con una intuición extraordinaria, porque la herramienta matemática que le hubiese permitido llevar a cabo su tarea cómodamente, el cálculo infinitesimal, aún no se había inventado.

Su proyección, que en realidad no lo es, porque la posición en el plano de cada punto de la esfera no se proyecta sino que se calcula, consiste en lo siguiente:

  1. Los meridianos se dibujan como líneas paralelas verticales uniformemente separadas.
  2. Los paralelos se dibujan como líneas paralelas horizontales de igual longitud. Esto implica, dado que los paralelos son menores a medida que nos acercamos a los polos, que hay que estirarlos.
  3. Para que la proyección sea conforme, aquí está el truco, hay que aumentar la distancia de cada paralelo al ecuador en la misma proporción que dicho paralelo ha sido estirado horizontalmente.

Calcular el factor de estiramiento y separación de los paralelos es sencillo: la longitud del ecuador viene dada por 2πR, siendo R el radio de la Tierra. La longitud del paralelo de latitud φ es 2πr. Para que este paralelo aparezca en la proyección con la misma medida que el ecuador hay que estirarlo según la proporción (2πR)/(2πr) = R/r = secφ, siendo φ la latitud del paralelo en cuestión (►trigonometría).

Así de sencillo y así de genial. En la notación moderna, y gracias al cálculo, podemos expresar esta transformación mediante las ecuaciones siguientes, en las que λ es la longitud y φ la latitud de un punto P de coordenadas (x, y) sobre el plano:

\[\left\{\begin{array}{l} x=R·\lambda               \\ y=R·ln\left[tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)\right]\end{array}\right.\]

La proyección de Mercator no es perfecta, ni mucho menos: el que mantenga las direcciones se consigue a costa de deformar tanto las distancias como las superficies. Pero es que, como demostró el mismísimo Euler, no existe el plano perfecto, pues no hay forma de representar en un plano una superficie esférica sin distorsión.

En el caso de la proyección de Mercator vemos cómo Groenlandia aparece más grande que Améria del Sur, cuando es mucho más pequeña, o cómo aparece al sur un continente Antártico gigantesco, y es evidente que favorece a los países de la franja templada del hemisferio norte respecto de los países más ecuatoriales. Pero de ahí a pensar que este mapa esconde intencionalidades políticas hay un gran salto.

En cualquier caso es bueno saber que el mundo no es como aparece en este mapa. Sin cambiar de proyección se podría, por ejemplo, utilizar como ecuador cualquier otro círculo máximo. El mapa resultante seguiría valiendo para navegar y, sin embargo, el mundo aparecería con otro aspecto bastante diferente.

Y es que, como dice Osserman, "cada mapa es, en efecto, un compromiso".


Bibliografía:

La estatua de Pedro Nunez de la fotografía está en la plaza que lleva su nombre en Alcácer de Sal, ciudad donde nació. Foto: A.

 
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