Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo. Vamos a centrarnos en este artículo en la raíz de dos.

Inconmensurabilidad

Lo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares permite la siguiente reconstrucción:

Terorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables.

Demostración:

Sea h la diagonal de un cuadrado y c su lado.

Por el teorema de Pitágoras: h² = c² + c² = 2c²

Entonces: \(\frac{h^2}{c^2}=2\)

Supongamos que h y c son conmensurables. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que \(\frac{h}{c}=\frac{a}{b}\).

Entonces: \(\frac{h^2}{c^2}=\frac{a^2}{b^2}=2\Rightarrow a^2=2b^2\)

De la última igualdad se deduce que a² es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a² = (2r)² = 4r² = 2b²

Simplificando: 2r² = b²

De la última igualdad se deduce que b² es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.

Por tanto, h y c son inconmensurables.

Raíz de dos, irracionalidad

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que \(\frac{a}{b}=\sqrt{2}\).

Entonces:

\(\frac{a^2}{b^2}=2\Rightarrow a^2=2b^2\)

De la última igualdad se deduce que a² es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).

Sea r natural tal que a = 2r.

Se tiene entonces: a² = (2r)² = 4r² = 2b²

Simplificando: 2r² = b²

De la última igualdad se deduce que b² es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.

Por tanto, \(\sqrt{2}\) es irracional.

Otra demostración aún mejor...

Otra demostración clásica es la de Euclides, quien en la proposición 9 del libro X de sus Elementos demostró que si dos magnitudes son conmensurables entonces también lo deben de ser sus cuadrados.

Sin embargo, mi preferida es la siguiente:

Empezamos como antes, suponiendo que \(\sqrt{2}\) es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a² = 2b².

Si descomponemos a² en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b². Sin embargo, en la expresión 2b² hay un 2 desparejado. Contradicción.

Nota: observese que esta demostración es aplicable a cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto, de modo que sirve para demostrar que toda raíz cuadrada de un número natural o es entera o es irracional.

Nota necrológica

Unos dicen que Hipaso murió al ser arrojado al mar por divulgar la esfera de doce pentágonos (el dodecaedro). Sin embargo, otros aseguran que el que fue castigado fue el que divulgó la doctrina de los números irracionales y los inconmensurables. Yo, a fin de cuentas, no he divulgado nada que no se supiese...