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Según E. T. Bell, la segunda gran contribución de Pitágoras (mejor habría que decir "de la escuela pitagórica")
a las matemáticas fue, aunque le humillase y entristeciese, el
descubrimiento de los números
irracionales. Lo que no está tan claro es en qué contexto
se realizó tal descubrimiento: muchos opinan que fue al aplicar
el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles, mientras que otros
creen que fue al estudiar las propiedades del pentágono
estrellado, símbolo de los pitagóricos.
Sea como fuere, ambos trabajos proporcionaron los primeros ejemplos de números irracionales, la raíz de dos el primero y la razón áurea el segundo. Vamos a centrarnos en este artículo en la raíz de dos. InconmensurabilidadLo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares permite la siguiente reconstrucción: Terorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables. Demostración:
Raíz de dos, irracionalidadLa irracionalidad de \(\sqrt{2}\) se deduce como aplicación directa del teorema anterior al cuadrado unidad. Sin embargo, lo habitual es encontrar la siguiente demostración, adaptación de la anterior:
Otra demostración aún mejor...Otra demostración clásica es la de Euclides, quien en la proposición 9 del libro X de sus Elementos demostró que si dos magnitudes son conmensurables entonces también lo deben de ser sus cuadrados. Sin embargo, mi preferida es la siguiente:
Nota: observese que esta demostración es aplicable a cualquier natural que no sea un cuadrado perfecto, de modo que sirve para demostrar que toda raíz cuadrada de un número natural o es entera o es irracional. Nota necrológicaUnos dicen que Hipaso murió al ser arrojado al mar por divulgar la esfera de doce pentágonos (el dodecaedro). Sin embargo, otros aseguran que el que fue castigado fue el que divulgó la doctrina de los números irracionales y los inconmensurables. Yo, a fin de cuentas, no he divulgado nada que no se supiese... |
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