Epsilones 3 monos

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Fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado

Sea la ecuación

\[ax^2+bx+c=0\]

Vamos a intentar obtener los término en x del cuadrado de un binomio.

Para ello la reescribimos como sigue para tener un cuadrado:

\[(\sqrt{a}x)^2+bx+c=0\]

Añadimos en el segundo término la \(\sqrt{2}\):

\[(\sqrt{a}x)^2+\dfrac{b}{\sqrt{a}}(\sqrt{a}x)+c=0\]

Y un 2 para tener el doble producto:

\[(\sqrt{a}x)^2+2\dfrac{b}{2\sqrt{a}}(\sqrt{a}x)+c=0\]

Ya tenemos el cuadrado y el doble producto. Veamos lo que nos sobra:

\[(\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2=(\sqrt{a}x)^2+2\sqrt{a}x\dfrac{b}{2\sqrt{a}}+(\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2=ax^2+bx+\dfrac{b^2}{4a}\]

Si comparamos con la ecuación original, vemos que sobra el término \(\dfrac{b^2}{4a}\) y que falta la c, así que:

\[(\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}})^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=0\]

Ya casi está: despejamos la x:

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm\sqrt{\dfrac{b^2}{4a}-c}}{\sqrt{a}}\]

Simplificando un poco:

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a}}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a}}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}}\]

Y, por fin:

\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]


 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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