elipse, parábola e hipérbola

Si buscamos en el DRAE elipse, parábola e hipérbola encontramos las siguientes etimologías, a las que aporto al lado la traducción literal:

• Del lat. ellipsis, y este del gr. ἔλλειψις, 'falta, insuficiencia'.
• Del lat. parabŏla, y este del gr. παραβολή, 'comparación'.
• Del lat. hyperbŏla, y este del gr. ὑπερβολή, 'exceso, superabundancia'.

Una interpretación muy extendida de estos nombres (ver e: The Story of a Number o el propio diccionario etimológico de Corominas) es que lo de falta, comparación o exceso se refiere a la inclinación del plano de corte respecto de la inclinación de la generatriz del cono: si la inclinación del plano es menor que la de la generatriz tenemos una elipse; si dicha inclinación es igual tenemos una parábola; y si la inclinación es mayor obtenemos una hipérbola.

Sin embargo, Boyer, en su Historia de la matemática, dice que esta interpretación es incorrecta. Según explica, dichos términos ya eran usados por los pitagóricos en el contexto de la resolución de ecuaciones cuadráticas por medio de áreas para explicar que el exceso, la igualdad o el defecto de las áreas de ciertos rectángulos respecto de los segmentos sobre los que se aplicaban. Sería Apolonío el que los reutilizó después para nombrar a las cónicas en el sentido siguiente.

Si escribimos las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola respecto de uno de sus vértices tenemos, respectivamente:

\[\dfrac{(x-a)^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

\[y^2=2px\]

\[\dfrac{(x+a)^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

Despejando \(y^2\)

\[y^2=\dfrac{2b^2}{a}x-\dfrac{b^2x^2}{a^2}\]

\[y^2=2px\]

\[y^2=\dfrac{2b^2}{a}x+\dfrac{b^2x^2}{a^2}\]

Llamando l, de latus rectum, a \(\dfrac{2b^2}{a}\) y a \(2p\) tenemos que

\[y^2<lx\]

\[y^2=lx\]

\[y^2>lx\]

De las tres expresiones anteriores dice Boyer que sacó Apolonio lo del defecto, igualdad y exceso de las tres cónicas. La verdad es que las dos interpretaciones parecen razonables, aunque la segunda es algo más rebuscada. ¿Cómo resolvemos el dilema? Pues de la mejor manera posible: acudiendo a las fuentes (para ser precisos, a una traducción modernizada de las fuentes).

Apolonio, en su Tratado sobre las secciones cónicas, en su proposición 3, tras el esquema anterior, dice:

"Por lo tanto, el cuadrado construido con la ordenada es igual al rectángulo cuya altura es igual a la abscisa y cuya base yace a lo largo de la linea recta PL, aunque quedándose corta (έλλείπει) por una longitud igual a la diferencia entre VR y PL. La sección es llamada, por tanto, Elipse."

Las proposiciones 1 y 2 se refieren, respectivamente, a la parábola y a la hipérbola, y se explican en parecidos términos. Parece claro entonces que el defecto de la elipse es respecto de las áreas de superficies construidas a partir de sus puntos y que nada tiene que ver con la inclinación de planos y generatrices, aunque cuadraba tan bien...

Resuelto el enigma, no me resisto, sin embargo, a copiar a continuación las etimologías propuestas por Don Felipe Picatoste Rodríguez en su Vocabulario matemático-etimológico. Para que luego digan que los matemáticos no tienen imaginación.

• Elipse (del gr. elisso, envolver, arrrollar, y según otros de elleipsis, contracción o depresión, porque esta curva es un círculo deprimido).
• Parábola (del gr. parabola, comp. de para y ballo; sin duda [sic] porque la parábola es la curva que describe una piedra arrrojada a lo alto al caer).
• Hipérbola (del gr. uperbola, comp. de uper, sobre, y ballo, arrojar; es decir, línea como arrojada por lo alto).

Lo mejor es lo de "sin duda".