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El paraboloide hiperbólico, o silla de montar para los amigos, es una superficie de ecuación:
\[z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\ \ \ \ \ \ \ \ [*]\]
que tiene cerca del origen el siguiente aspecto:
Secciones planas
Es una superficie que contiene algunas sorpresas en forma de secciones planas. En lo que viene vamos a cortar la superficie con distintos planos y a ver lo que sale.
Planos paralelos al plano OYZ
Estos planos tiene por ecuación \(x=k\)
Sustituyendo en [*] tenemos:
\[z=\dfrac{k^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\]
o, lo que es lo mismo,
\[z=-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{k^2}{a^2}\]
que es una parábola del tipo \(z=py^2+n\)
Planos paralelos al plano OXZ
De modo similar al caso anterior, estos planos tiene por ecuación \(y=k\)
Sustituyendo en [*] tenemos:
\[z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{k^2}{b^2}\]
que es una parábola del tipo \(z=px^2+n\)
Plano paralelos al plano OXY
En este caso los planos tiene por ecuación \(z=k\)
Sustituyendo en [*] tenemos:
\[k=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\]
o lo que es lo mismo
\[1=\dfrac{x^2}{(a\sqrt{k})^2}-\dfrac{y^2}{(b\sqrt{k})^2}\]
que es una hipérbola del tipo \(1=\dfrac{x^2}{p^2}-\dfrac{y^2}{q^2}\)
Superficie reglada
Si resulta llamativo que la superficie que estudiamos esté fomada por parábolas e hipérbolas, más lo es que esté generada por una familia de rectas.
1. Motivación
Si en el caso de los planos paralelos al plano OXY hacemos \(k=0\), lo que nos queda es:
\[0=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\]
Operando:
\[x=\pm \dfrac{a}{b}y\]
que resultan ser un caso degenerado de hipérbola constituido por dos rectas que se cruzan.
Este resutado nos lleva a pensar si este caso será una excepción o si, por el contrario, la superficie contendrá más rectas.
2. Muchas más rectas
Sea un punto \(P=(x_0, y_0,z_0)\) de la superficie y un vector del espacio \(v=(v_1, v_2,v_3)\)
Vamos a ver si en algún caso la recta \(X=P+\lambda v\) está incluida en la superficie.
Los puntos de la recta son de la forma
\[(x,y,z)=(x_0, y_0,z_0)+\lambda (v_1, v_2,v_3)\]
es decir
\[(x,y,z)=(x_0+\lambda v_1, y_0+\lambda v_2,z_0+\lambda v_3)\]
Sustituyendo en (*):
\[z_0+\lambda v_3=\dfrac{(x_0+\lambda v_1)^2}{a^2}-\dfrac{(y_0+\lambda v_2)^2}{b^2}\]
Haciendo cuentas llegamos a
\[a^2b^2z_0+\lambda v_3a^2b^2=(b^2x_0^2-a^2y_0^2)+\lambda(2b^2v_1x_0-2a^2v_2y_0)+\lambda^2(b^2v_1^2-a^2v_2^2)\]
Igualando término a término
1) \(a^2b^2z_0=b^2x_0^2-a^2y_0^2\)
Despejando,
\(z_0=\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}\)
lo cual es cierto por ser \(P=(x_0, y_0,z_0)\) un punto de la superficie.
2)\(v_3a^2b^2=2b^2v_1x_0-2a^2v_2y_0\)
Despejando
\(v_3=\dfrac{2x_0v_1}{a^2}-\dfrac{2y_0v_2}{b^2}\)
3)\(b^2v_1^2-a^2v_2^2=0\)
Despejando
\(v_2=\pm\dfrac{bv_1}{a}\)
Como \(v_1\) es libre, haciendo \(v_1=a\ne0\) tenemos \(v_2=\pm b\), lo que nos da las siguientes dos posibilidades:
- \(v_1=a ; v_2=b\Rightarrow v_3=\dfrac{2x_0}{a}-\dfrac{2y_0}{b}\)
- \(v_1=a ; v_2=-b\Rightarrow v_3=\dfrac{2x_0}{a}+\dfrac{2y_0}{b}\)
Es decir: para cada punto \(P=(x_0, y_0,z_0)\) del paraboloide hiperbólico existen dos rectas incluidas en la superficie que pasan por él:
- \((x,y,z)=\left(x_0, y_0,\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}\right)+\lambda \left(a, b, \dfrac{2x_0}{a}-\dfrac{2y_0}{b}\right)\ \ \ \ \ [**]\)
- \((x,y,z)=\left(x_0, y_0,\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}\right)+\lambda \left(a, -b, \dfrac{2x_0}{a}+\dfrac{2y_0}{b}\right)\)
3. Familia de generatrices
Tenemos dos rectas incluidas en la superficie por cada uno de sus puntos. Vamos a seleccionar de entre todas esas rectas una familia de generatrices apoyadas en una curva, lo que nos permitirá decir que el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada. Las superficies regladas tienen mucho interés en arquitectura porque, al estar generadas por rectas, pueden construirse físicamente mediante vigas rectas.
Como hemos visto más arriba, los puntos del paraboloide con \(x=0\) forman una parábola. Pues bien, para cada punto de la parábola vamos a considerar una de las dos rectas incluidas en el paraboloide y vamos a probar que son una familia generadora.
En [**] hacemos \(x_0=0\) y \(y_0=k\)
Así
\[(x,y,z)=\left(0, k,-\dfrac{k^2}{b^2}\right)+\lambda \left(a, b, -\dfrac{2k}{b}\right)\ \ \ \ \ [***]\]
expresión que para cada k real da una recta.
Para ver que es familia generadora, dado un punto del paraboloide vamos a buscar una recta de la familia [***] que la contenga. Para ello parametrizamos el paraboloide de la siguiente manera:
\[\left\{\begin{array}{l} x=at\\y=bs\\z=t^2-s^2 \end{array}\right.\]
Igualamos estas ecuaciones con las de la familia de rectas [***]
\[\left\{\begin{array}{l} at=a\lambda\\bs=k+b\lambda\\t^2-s^2=-\dfrac{k^2}{b^2}-\lambda \dfrac{2k}{b} \end{array}\right.\]
De la primera ecuación sacamos que \(\lambda=t\)
Sustituyendo en la segunda y despejando, tenemos que \(k=b(s-t)\)
Finalmente, basta sustituir en la tercera ecuación los valores obtenidos para \(\lambda\) y t para ver que todo cuadra.
Por lo tanto, la familia de rectas
\[(x,y,z)=\left(0, k,-\dfrac{k^2}{b^2}\right)+\lambda \left(a, b, -\dfrac{2k}{b}\right)\ \ \ \ \ k\in\mathbb{R}\]
es una familia de generatrices.
Podemos ahora imaginar la superficie como generada por una recta que se mueve a lo largo de una parábola. Esto hace del paraboloide hiperbólico una superficie reglada. Si en [**] hubiésemos cogido la segunda recta en vez de la primera tendríamos otra familia de generatrices, lo que hace del paraboloide una superficie doblemente reglada.
Sin embargo, no es una superficie desarrollable: ahí lo dejo.
4. Visualización
La siguiente construcción permite visualizar todo lo visto anteriormente, en particular una de las dos rectas móviles que generan el paraboloide.
Un giro inesperado
Vamos a considerar el paraboloide hiperbólico con \(a=b=1\). La ecuación cartesiana queda entonces:
\[x=x^2-y^2\]
que en paramétricas da:
\[\left\{\begin{array}{l} x=t\\y=s\\z=t^2-s^2 \end{array}\right.\]
Ahora giramos la superficie \(\dfrac{\pi}{2}\) radianes respecto del eje OZ. Para ello realizamos la siguiente multiplicación:
\[\begin{pmatrix}{cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} & {-sen\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\\{sen\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}& {cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}{t} \\ {s}\end{pmatrix}\]
Las nuevas ecuaciones paramétricas de la superficie girada quedan así:
\[\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{\sqrt2}{2}(t-s)\\y=\dfrac{\sqrt2}{2}(t+s)\\z=t^2-s^2 \end{array}\right.\]
Si multiplicamos x por y tenemos
\[xy=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2(t-s)(t+s)\]
es decir
\[xy=\dfrac{1}{2}(t^2-s^2)\]
que es exactamente la mitad de z, por lo que:
\[z=2xy\]
Esta sencilla ecuación admite una parametrización igualmente sencilla:
\[\left\{\begin{array}{l} x=u\\y=w\\z=2uw \end{array}\right.\]
que tiene el interés de darnos directamente las rectas generatrices del paraboloide hiperbólico, pues si con la expresión que usamos al principio los cortes con los planos verticales daban parábolas, ahora esos mismos cortes dan rectas. Y todo por un giro.
Qué cosas.
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