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Curva podaria



Se llama podaria de una curva respecto de un punto llamado polo al lugar geométrico de los puntos que son proyecciones del polo sobre las tangentes a la curva.

En la figura, dada la circunferencia verde y el punto rojo que es el polo, los puntos del lugar geométrico son las proyecciones ortogonales, en azul, del polo sobre cada una de las tangentes a la curva verde en los puntos X.

Una curva asociada es el lugar geométrico de los puntos simétricos del polo respecto de las tangentes a la curva.

En la figura, dada la circunferencia verde y el punto rojo que es el polo, los puntos del lugar geométrico son los puntos simétricos del polo respecto de las tangentes a la curva verde en los puntos X.

En la siguiente construcción se puede ver la curva podaria y la curva de puntos simétricos de las cónicas. También muestra cinco casos concretos:

  1. Cardioide: podaria de la circunferencia respecto de un punto de la circunferencia.
  2. Circunferencia focal: curva de puntos simétricos de un foco respecto de las tangentes de una elipse. Resulta ser la circunferencia
  3. de centro el otro foco y radio el eje mayor.
  4. Lemniscata: curva de puntos simétricos del centro de una hipérbola respecto de sus tangentes.
  5. Directriz: curva de puntos simétricos del foco de una parábola respecto de sus tangentes.
  6. Caracol de Pascal: podaria de la circunferencia respecto de un punto exterior a la circunferencia.

El punto rojo, el polo, se puede arrastrar para ver cómo cambian las curvas al cambiar dicho polo. También se puede arrastrar el punto naranja que aparece cuando se marca la casilla Tangente y perpendicular y ver qué punto de las curvas solución (azul) corresponde a cada punto de la curva inicial (en verde).


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