Las definiciones del número e

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Definiciones

A. El número e como límite

Con frecuencia se define el número e como el siguiente límite:

\[\boxed{e=\displaystyle\lim_{n \to \infty} {\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}}\]

B. El número e como serie 

También es frecuente expresarlo como la suma de uns serie infinita:

\[\boxed{e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty=\dfrac{1}{n!}}\]

donde n! repsrsenta al factorial de n, es decir, el producto de n por todos los números naturales inferiores a él.

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En la siguiente construcción podemos ver cómo convergen el límite y la serie. Hay que señalar lo rápido que lo hace la serie comparada con el límite. El deslizador oculta o muestra los puntos de la gráfica.

C. El número e como solución de una ecuación integral

El número e está íntimamente relacionado con el logaritmo. Esto explica, como veremos, que el número e también se defina como la solución de la siguiente ecuación integral:

\[\boxed{\displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t}\,dt=1}\]

En la construcción intepretamos la integral defnida como área y vemos, moviendo el deslizador, cómo e es el valor de abscisa que da una área igual a 1 bajo la hipérbola.

D. El número e como solución de una ecuación diferencial

Si hemos visto una definición con integrales, toca ahora una con derivadas. El número e se puede definir cómo el único número real que cumple que la función exponencial que lo tiene como base coincide con su derivada, es decir, que si \(f(x)=e^x\) entonces:

\[\boxed{f(x)=f'(x)}\]

La construcciòn siguiente muestra una función exponencial y su derivada. El deslizador cambia la base de la exponencial. Lo botones nos muestran la situación para tres valores concretos: 2, e y 3.

Demostración de equivalencia

1. Un resultado previo

Primero vamos a demostrar un resultado previo:

Si \(f(x)=lg_ax \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{x}lg_ak\), siendo \(k=\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n\)

Demostración

\[f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{lg_a(x+h)-lg_a{x}}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}lg_a{\left(\dfrac{x+h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}}}=\]

\[\displaystyle\lim_{h \to 0}lg_a{\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{x}{h}}\right)^{\dfrac{1}{h}}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}lg_a\left[{\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{x}{h}}\right)^{\dfrac{x}{h}}}\right]^{\dfrac{1}{x}}= (1)\]

Sea \(n=\dfrac{x}{h}\). Como \(x>0\) por ser el dominio del logaritmo los reales positivos, cuando \(h \to 0 \Rightarrow n \to \infty\)

Tenemos entonces

\[(1) =\displaystyle\lim_{n \to \infty}lg_a\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right]^{\dfrac{1}{x}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{x} lg_a \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n= \dfrac{1}{x} lg_a \left[\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right]\]

Llamando \(k=\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}^n\) y tras comprobar que la sucesión converge (ver en dm.uba.ar) tenemos que \[ f'(x)=\dfrac{1}{x}lg_ak\]

2. Otro resultado previo

Sea f(x) es infinitamente diferenciable. f(x) = f'(x) para todo x en R sii f(x) = 0 o f(x) = a·serie

Demostración cíclica

Vamos a demostrar lassiguiente implicaciones entre las definiciones, de modo que acabemos demostrando que son todas equivalentes.

\(A \Rightarrow B\)

Para la convergencia de la serie, OJO.