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(6-4-2022)
************************************************************************************ El número e es practicamente omnipresente en la matemática, por lo que en función del área de que se trate puede ser definido de distintas maneras. En este texto vamos a definir y mostrar en preimer lugar el número e de cuatro maneras distintas. Posteriormente veremos algunas ideas que conectan las cuatro definiciones.DefinicionesA. El número e como límiteCon frecuencia se define el número e como el siguiente límite: \[\boxed{e=\displaystyle\lim_{n \to \infty} {\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}}\]B. El número e como serieTambién es frecuente expresarlo como la suma de uns serie infinita: \[\boxed{e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty=\dfrac{1}{n!}}\]donde n! repsrsenta al factorial de n, es decir, el producto de n por todos los números naturales inferiores a él. *** En la siguiente construcción podemos ver cómo convergen el límite y la serie. Hay que señalar lo rápido que lo hace la serie comparada con el límite. El deslizador oculta o muestra los puntos de la gráfica. C. El número e como solución de una ecuación integralEl número e está íntimamente relacionado con el logaritmo. Esto explica, como veremos, que el número e también se defina como la solución de la siguiente ecuación integral: \[\boxed{\displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t}\,dt=1}\]En la construcción intepretamos la integral defnida como área y vemos, moviendo el deslizador, cómo e es el valor de abscisa que da una área igual a 1 bajo la hipérbola.
D. El número e como solución de una ecuación diferencialSi hemos visto una definición con integrales, toca ahora una con derivadas. El número e se puede definir cómo el único número real que cumple que la función exponencial que lo tiene como base coincide con su derivada, es decir, que si \(f(x)=e^x\) entonces: \[\boxed{f(x)=f'(x)}\]La construcciòn siguiente muestra una función exponencial y su derivada. El deslizador cambia la base de la exponencial. Lo botones nos muestran la situación para tres valores concretos: 2, e y 3.
Demostración de equivalencia1. Un resultado previo
2. Otro resultado previoSea f(x) es infinitamente diferenciable. f(x) = f'(x) para todo x en R sii f(x) = 0 o f(x) = a·serie .Demostración cíclicaVamos a demostrar lassiguiente implicaciones entre las definiciones, de modo que acabemos demostrando que son todas equivalentes. \(A \Rightarrow B\)Para la convergencia de la serie, OJO. |
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