Fórmula para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado

Pocas fórmulas del álgebra son más conocidas por los estudiantes de secundaria que esta: \[x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] y que es, obviamente, la que da las soluciones de una ecuación de segundo grado a partir de la expresión

\[ax^2+bx+c=0\]

Lo que no es tan frecuente es que conozcan la justificación de dicha fórmula (incluso en el caso de que se les haya contado).

La idea básica es buscar un binomio que, al cuadrado, de los dos términos en x de la ecuación original. Si conseguimos eso podremos despejar la incógnita y el trabajo estará hecho.

Recordemos que \[(c+d)^2=c^2+2cd+d^2\]

Para obtener el primer término de la ecuación, \(ax^2\) es obvio que un término del binomio debe ser \(\sqrt{a}x\). Así, al calcular "el cuadrado del primero", tendremos \(ax^2\).

Para el segundo término, \(bx\), hay que tener en cuenta que ya tenemos un término, que es \(\sqrt{a}x\). Entonces, para eliminar la raíz de a e introducir b, debemos considerar \(\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\).

Así:

\[\left(\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2=ax^2+\dfrac{b^2}{2^2\sqrt{a}^2}+2\sqrt{a}x\dfrac{b}{2\sqrt{a}}=ax^2+\dfrac{b^2}{4a}+bx\]

Para obtener el miembro izquierdo de la ecuación original, sobra \(\dfrac{b^2}{4a}\) y falta c. Pues sumamos y restamos:

\[\left(\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=0\]

A partir de aquí son cuentas para simplificar la fórmula:

\[\left(\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a}-c\]

\[\sqrt{a}x+\dfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a}-c}\]

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4a}-c}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a}}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{-\dfrac{b}{2\sqrt{a}}\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}}\]

\[x=\dfrac{\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}}\]

\[\boxed{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]