Demostración del teorema de Pitágoras mediante proporciones

Esta demostración del teorema de Pitágoras, una de las más sencillas que conozco, se le atribuye al propio Pîtágoras (o a su escuela, lo cual viene a ser lo mismo), pero yo la leí en el magnifico libro de Erwin Schrödinger La naturaleza y los griegos. Física, filosofía griega, matemáticas...

Dado un triángulo rectángulo ABC cualquiera, trazamos la altura correspondiente al vértice del ángulo recto, C. Con esto obtenemos tres triángulos semejantes: BCN, ANC y el propio ABC.

Al ser semejantes, sus lados son proporcionales, lo cual nos da las siguientes igualdades:

\[\dfrac{c}{a}=\dfrac{a}{p} \Rightarrow a^2=cp\\\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{q} \Rightarrow b^2=cq\]

Sumando las dos igualdades de la derecha:

\[a^2+b^2=cp+cq=c(p+q)=c^2\]

Es decir,

\[a^2+b^2=c^2\]

que es el teorema de Pitágoras.