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Proposición 32 del libro I de los Elementos de Euclides



La proposición 32 del primer libro de los Elementos de Euclides establece que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Exactamente, dice:

En cualquier triángulo, si uno de los lados es prolongado, entonces el ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos y opuestos, y la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a dos rectos.

La demostración de Euclides sigue los siguientes pasos:

1. Se prolonga \(\text{B} \Gamma\) hasta \(\Delta\). Ángulo \(\text{A} \Gamma \Delta\)

2. Se dibuja \(\Gamma \text{E}\) desde \(\Gamma\) y paralela a \(\text{AB}\) [Proposición 1.31]

3. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{A} \Gamma\) las corta, los ángulos \(\text{BA} \Gamma\) y igual \(\text{A} \Gamma \text{E}\) son iguales [Proposición 1.29]

4. \(\text{AB}\) y \(\Gamma \text{E}\) son paralelas y \(\text{B} \Delta\) las corta, los ángulos \(\text{E} \Gamma\Delta\) y \(\text{AB}\Gamma\) son iguales [Proposición I.29]

5. Por tanto, \(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma =\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta\)

Como \(\text{A} \Gamma \text{E}+\text{E} \Gamma\Delta=\text{A} \Gamma \Delta\), se tiene que

\(\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \Delta\), primer resultado.

6. Sumando \(\text{A} \Gamma \text{B}\) en los dos miembros de la igualdad anterior, tenemos 

\(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta\)

Por la [Proposición I.13] \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{A} \Gamma \Delta=\text{dos rectos}\)

Luego \(\text{A} \Gamma \text{B}+\text{BA} \Gamma+\text{AB}\Gamma=\text{dos rectos}\)


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Citas: Un filósofo y un geómetra.
Temas: Libro I de los Elementos de Euclides.

 

 
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