Interpretación geométrica del triángulo de Pascal

Luis Scoccola

Empezamos con la siguiente cuestión: ¿Cuántos puntos equidistantes entre sí se pueden disponer en n dimensiones?

Cuando uno se encuentra en una dimensión y se tienen los puntos A y B, basta con agregar un punto C tal que AB = BC y "doblar" la recta 60 grados para que CA = AB. Nos encontraremos entonces en dos dimensiones. Si agregamos otro punto D de modo que DB = DC bastará un nuevo "doblez" para que DA = DB y pasar así a tres dimensiones.

dimensiones	nº puntos
0	1	un punto
1	2	un segmento
2	3	un triángulo equilátero
3	4	un tetraedro

Ahora es cuando la cosa se complica, porque pensar en agregar otro punto y “doblar” nuevamente se torna un poco más complicado, pues habría que pasar a dimensión cuatro. Quedémonos un rato más en tres dimensiones y pensemos lo siguiente: ¿Cuántos puntos hay en cada caso?, ¿cuántos segmentos? ¿cuántas superficies?, y ¿cuántos volúmenes?

dimensiones	puntos	segmentos	superficies	volúmenes
0	1	0	0	0
1	2	1	0	0
2	3	3	1	0
3	4	6	4	1

¿Podemos ahora conjeturar algunas cosas? Podríamos pensar, por ejemplo, que la cantidad de tetraedros contenidos en el equivalente tetradimensional de un tetraedro debe ser 5; o que la cantidad de segmentos que contendría sería 10. La demostración de esta última afirmación es muy simple:

Aunque estamos construyendo figuras en las que todos los puntos estan unidos entre sí por segmentos iguales (los puntos son equidistantes) podemos olvidarnos de esta igualdad y centrarnos tan solo en el número de elementos que trazamos. Así, en el caso de la cuarta dimensión, ¿cuántos puntos hay?: 5. Dibujemos entonces 5 puntos no alineados, o simplemente un pentágono, y dibujemos todas sus diagonales para que todos los vértices queden unidos entre sí. Contemos ahora todos los segmentos: son 10. Esa es la cantidad de segmentos contenida en un tetraedro tetradimensional. Probada una de las conjeturas, la similitud con el triángulo de Pascal se hace más evidente:

dimensiones	puntos	segmentos	superficies	volúmenes	hipervolúmenes
0	1	0	0	0	0
1	2	1	0	0	0
2	3	3	1	0	0
3	4	6	4	1	0
4	5	10	-	-	1

1
2	1
3	3	1
4	6	4	1
5	10	-	-	1

Notemos lo siguiente: la fórmula para sacar la cantidad de segmentos puede verse de dos formas: como la que permite obtener el tercer coeficiente de un binomio o como la fórmula para sacar la cantidad de diagonales de un poligono cualquiera. Estas dos fórmulas equivalen "casualmente" a la forma de los números triangulares: (n(n+1))/2 que "casualmente" es la segunda columna del triángulo escrito arriba (obviamente la primera columna está formada por los números naturales).

Cabe preguntarse ¿Que es la tercera columna ? ¿Y la cuarta? etc.

Nota

Efectivamente el triángulo de Pascal es una tabla de números combinatorios.

Si calculamos \(\displaystyle\binom{n}{2}\) tendremos el número de segmentos que podemos construir con n puntos.
Con \(\displaystyle\binom{n}{3}\) tendremos el número de triángulos.
Con \(\displaystyle\binom{n}{4}\) tendremos el número de tetraedros, y así sucesivamente.

Lo que me ha resultado más interesante del texto de Luis es cómo a partir de una pregunta geométrica ha pasado a una cuestión topológica, al prescindir de la igualdad de los segmentos, que ha abacabo conectando con un objeto aritmético como es el triángulo de Pascal.

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