Infinito menos infinito

Aproximación análitica

Infinito puede ser el resultado de un paso al límite. Podemos ver que pasa cuando restamos dos sucesiones de límite infinito.

Sean las sucesiones siguientes:

• a_n = n;
• b_n = n²;
• c_n = n + x, donde x es un número real cualquiera.

Tomando límites se tiene:

• lim a_n = lim b_n = lim c_n = ∞

Ahora, si restamos las funciones y tomamos límites, tenemos:

• lim (b_n - a_n) = lim (n² - n) = ∞
• lim (c_n - a_n) = lim (n + x - n) = lim x = x

Conclusión provisional: al restar dos sucesiones de límite infinito, la sucesión resultante puede tener por límite cualquier cosa.

Aproximación conjuntista

Infinito también puede ser el cardinal de un conjunto, es decir, la cantidad de elementos que tiene. La idea ahora es coger un conjunto de cardinal infinito, quitarle subconjuntos de cardinal también infinito, y ver cuál es el cardinal del conjunto resultante. No es muy distinto de lo que hacemos cuando para explicarle a un niño cuánto es tres menos dos le decimos : “si tengo tres manzanas y me como una, ¿cuántas manzanas me quedan?”.

Sean los siguientes conjuntos:

• N = {1, 2, 3, 4 ...}, es decir, el conjunto de los números naturales (sin el cero, por comodidad).
  
• P = {2, 4, 6, 8 ...}, es decir, el conjunto de los números pares.
  
• I = {1, 3, 5, 7 ...}, es decir, el conjunto de los números impares.
  
• A1 = N - {1}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1.
  
• A2 = N - {1, 2}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1 y el 2.
  
• ...
  
• An = N - {1, 2, ..., n}, es decir, el conjunto de los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... y el n.
  

Entenderemos por A - B el conjunto resultante de quitarle al conjunto a los elementos del conjunto B. Veamos algunos casos:

1. N - N = Ø

Si al conjunto de los números naturales le quitamos todos los números naturales, ¿qué nos queda? Pues nada. Al conjunto que no tiene elementos en matemáticas se le llama conjunto vacío y se le representa con el símbolo Ø. Su cardinal, por supuesto, es cero.

Según lo dicho, ∞ - ∞ = 0.

2. N - P = I

Está claro: si a los naturales le quitamos los pares quedan los impares.

Entonces: ∞ - ∞ = ∞.

3. N - A1 = {1}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1.

Entonces: ∞ - ∞ = 1.

4. N - An = {1, 2, ..., n}

Al conjunto de los naturales le hemos quitado todos los naturales excepto el 1, el 2, el 3, ... el n.

Entonces: ∞ - ∞ = n.

Conclusión: si a un conjunto con una cantidad infinita de elementos le quitamos una cantidad infinita de elementos, el conjunto resultante puede tener... cualquier cantidad de elementos, incluso ninguno.

Y fin

Los dos caminos seguidos nos llevan a una indeterminación. Pero esto no quiere decir que no podamos, en el conjunto de los infinitos, definir operaciones menos ingenuas que las anteriores y que trasladen la idea intuitiva de las operaciones aritméticas al mundo transfinito.