Todas las parábolas son iguales

Pues sí, todas las parábolas son iguales salvo un factor de escala. Dicho de otra manera: todas tienen la misma forma y solo cambian en el tamaño.

Para demostrarlo vamos a ver que todas las parábolas con el vértice en el origen de coordenadas se pueden obtener por homotecia de la parábola \(f(x) = x^2\).

Demostración

Para cada pendiente m se calculan las intersecciones de la recta recta y = mx con f(x) y g(x).

Corte \(y=mx\) con \(y=x^2\)

\(mx=x^2 \Rightarrow x^2-mx=0 \Rightarrow x=0 \wedge x=m\Rightarrow(m,m^2)\)

Corte \(y=mx\) con \(y = ax^2\)

\(mx=ax^2 \Rightarrow ax^2-mx=0 \Rightarrow x=0 \wedge x= \dfrac{m}{a} \Rightarrow \left(\dfrac{m}{a},\dfrac{m^2}{a}\right) \Rightarrow \dfrac{1}{a}(m,m^2)\)

Vistas las coordenadas obtenidas, se ve que la gráfica de g(x) se puede obtener a partir de la gráfica de f(x) mediante una homotecia de centro el origen de coordenadas y razón 1/a.

Nota: cualquier otra parábola no centrada en el origen es una traslación de una parábola centrada en el origen.

Preguntas

• ¿Son iguales todas las hipérbolas?
• ¿Son iguales todas las elipses?