Transformaciones trigonométricas: de suma a producto y viceversa

De suma a producto

Como ejemplo, vamos a ver cómo transformar la suma de dos senos.

Aplicando las fórmulas del seno de la suma y la diferencia, tenemos:

\[sen(a+b)=sen a cos b+cos a sen b\]

\[sen(a-b)=sen a cos b-cos a sen b\]

\[sen(a+b)+sen(a-b)=2sen a cos b\ \ \ \ \ \ \ \ [1]\]

Haciendo

\[a+b=\alpha\]

\[a-b=\beta\]

Sumando y restando las dos últimas expresiones, se tiene:

\[a=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\]

\[b=\dfrac{\alpha-\beta}{2}\]

Sustituyendo en [1]:

\[sen(\alpha)+sen(\beta)=2sen{\dfrac{\alpha+\beta}{2}} cos {\dfrac{\alpha-\beta}{2}}\]

De producto a suma

Como ejemplo, vamos a ver cómo transformar el producto de dos senos.

Aplicando las fórmulas del coseno de la suma y la diferencia, tenemos:

\[cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos \beta-sen \alpha sen \beta\]

\[cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sen \alpha sen \beta\]

\[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)=-2 sen \alpha sen \beta\]

Despejando:

\[sen \alpha sen \beta=-\dfrac{1}{2}[cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)]\]