Epsilones
XX aniversario
3 monos
Novedades - ► Mapa - Bestiario - GeoGebra - Bienvenida - Contacto
Fragmentos

Interpretación gráfica de las funciones trigonométricas



seno α = AP
coseno α = BP
tangente α = CD

cosecante α = OH
secante α = OG
cotangente α = EF

 

Justificaciones

Seno:

Se define \(sen α = \dfrac{coordenada\ vertical\ de\ P}{radio}\).

Entonces \(sen α = \dfrac{AP}{OP}\).

Como \(OP = 1,\ sen α = AP\).

Coseno:

Se define \(cos α = \dfrac{coordenada\ horizontal\ de\ P}{radio}\).

Entonces \(sen α = \dfrac{BP}{OP}\).

Como \(OP = 1,\ sen α = BP\).

Tangente

Se define \(tg α = \dfrac{coordenada\ vertical\ de\ P}{coordenada\ horizontal\ de\ P}\).

Entonces \(tg α = \dfrac{PQ}{OQ}\).

Se prolonga OP hasta cortar en D a la recta tangente a la circunferencia en C.

Los triángulos OPQ y ODC están en posición de Tales. Por el teorema de Tales, \(\dfrac{PQ}{OQ} = \dfrac{CD}{OC}\).

Como \(OC = 1, tg α = CD\).

Cosecante:

Se define \(cosec α = \dfrac{1}{sen α}\).

El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa. En el triángulo rectángulo OPH de la figura, se tiene entonces que \(OP^2=OQ·OH\).

Como \(OP = 1\) y \(OQ = sen α\), se tiene que \(1 = senα·OH\).

Entonces \(\dfrac{1}{sen α} = OH\), es decir, que \(cosec α = OH\).

Secante:

Se define \(sec α = \dfrac{1}{cos α}\).

El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa. En el triángulo rectángulo OGP de la figura, se tiene entonces que \(OP^2=OQ·OG\).

Como \(OP = 1\) y \(OQ = cos α\), se tiene que \(1 = cosα·OG\).

Entonces \(\dfrac{1}{cos α} = OG\), es decir, que \(sec α = OG\).

Cotangente

Se define \(cotg α = \dfrac{1}{tg α}\).

Por tanto, \(cotg α = \dfrac{coordenada\ horizontal\ de\ P}{coordenada\ vertical\ de\ P}\).

Entonces \(cotg α = \dfrac{PQ}{OQ}\).

Se prolonga OP hasta cortar en F a la recta tangente a la circunferencia en E.

Los triángulos OPQ y OFE están en posición de Tales. Por el teorema de Tales, \(\dfrac{PQ}{OQ} = \dfrac{EF}{OE}\).

Como \(OE = 1, cotg α = EF\).

En la siguiente construcción, arrastrando el punto rojo se pueden observar las seis funciones a la vez. O de una en una. O de dos en dos...


Archivo GeoGebra
► Bestiario: Trigonometría.

 

 
Comentarios
Inicio página
Epsilones.
Sitio + o - matemático de
Alberto Rodríguez Santos.
Correo: alberto@epsilones.com.
En la red desde el 4-7-2002 (ya hace).
Última actualización: ver Novedades.
 

 

Con esto se termina la página: