Demostración de la fórmula del seno de la suma

Para dos ángulos cualesquiera \(\alpha\ y\ \beta\) se tiene que \[sen(\alpha+\beta) = sen \alpha cos \beta+ cos \alpha sen \beta\]

Demostración

1) Veamos primero que el área de un triángulo se puede calcular mediante la fórmula:

\[A=\dfrac{1}{2}absen\alpha\ \ \ \ \ \ \ [1]\]

donde a y b son dos de los lados y \(\alpha\) el ángulo que forman.

Supongamos que el ángulo \(\alpha\) es agudo y que h es la altura del triángulo:

Entonces \(A=\dfrac{1}{2}ah\ \ \ \ \ \ \ [2]\). 

En el triángulo de lados a, b y h se tiene, por definición, que \(sen \alpha=\dfrac{h}{b}\). Por tanto, \(h = bsen \alpha\).

Sustituyendo h en [2], \(A=\dfrac{1}{2}absen\alpha\), como queríamos demostrar.

Para \(\alpha\) obtuso basta recordar que \(sen(\pi - \alpha) = sen \alpha\).

2) Demostración del teorema.

La idea es utilizar el resultado anterior para expresar el área de un triángulo de dos maneras, una utilizando el seno de dos ángulos \(\alpha\ y\ \beta\) y otra utilizando el seno de la suma de dichos ángulos. Igualadas las dos expresiones, bastarán unas sencillas simplificaciones para lograr la fórmula buscada.

Construimos un triángulo que tenga uno de sus ángulos igual a la suma de los ángulos A y B:

Aplicando la fórmula [1] al triángulo rectángulo de la izquierda se tiene que su área es: \(A_1=\dfrac{1}{2}phsen \alpha\)

Aplicando la fórmula [1] al triángulo rectángulo de la derecha se tiene que su área es: \(A_2=\dfrac{1}{2}qhsen \beta\)

Aplicando la fórmula [1] al triángulo completo se tiene que su área es: \(A=\dfrac{1}{2}pqsen (\alpha + \beta)\)

Evidentemente, \(A=A_1+A_2\)_.

Entonces:

\[\dfrac{1}{2}pqsen (\alpha + \beta)=\dfrac{1}{2}phsen \alpha+\dfrac{1}{2}qhsen \beta\]

Dividiendo todo entre \(\dfrac{1}{2}pq\) se tiene: \[sen (\alpha + \beta)=\dfrac{h}{q}sen \alpha+\dfrac{h}{p}sen \beta\]

Como, por definición, \(\dfrac{h}{q} = cos \beta\); \(\dfrac{h}{p} = cos \alpha\), sustituyendo:

\[sen(\alpha+\beta) = sen \alpha cos \beta+ cos \alpha sen \beta\]

q.e.d.

Nota: en la demostración se ha supuesto implícitamente que \(\alpha+\beta<\pi\) . Se deja al lector la extensión de la demostración a cualquier otro caso.