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Logaritmo de un número complejo



Los logaritmos, definidos en principio para números positivos, fueron extendidos a los complejos por el infatigable señor Euler, allá por el siglo XVIII.

Lo que hizo fue, aproximadamente, lo siguiente:

Sea un número complejo z de módulo r y argumento \(\theta\).

En forma trigonométrica será:

\[z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\]

Por la fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\) se tiene que

\[z=r·e^{i\theta}\]

y por ser el seno y el coseno funciones periodicas de periodo \(2\pi\)

\[z=r·e^{i(\theta+2k\pi)}\]

Tomando logaritmos

\[\ln z=\ln \left(r·e^{i(\theta+2k\pi)}\right)=\ln r+\ln e^{i(\theta+2k\pi)}=\ln r+i(\theta+2k\pi)\]

Es decir:

\[\ln z=ln r+i(\theta+2k\pi)\]

La sorpresa no se reduce al hecho de que los complejos tengan logaritmo, sino que cada uno de ellos tenga en realidad infinitos logaritmos.

Aplicando esta fórmula, Euler obtuvo el valor de i elevado a i.


Fórmula de Euler

 

 
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