Armonógrafo rotatorio

Los armonógrafos son aparatos atribuidos, al menos en su idea básica, al matemático escocés Hugh Blackburn. Ya vimos uno de ellos, el armonógrafo lateral, cuando hablamos de las figuras de Lissajous. Otro modelo es el armonógrafo rotatorio. Consiste en tres péndulos colocados como se ve en la figura de la derecha: dos de ellos, con planos de oscilación en principio perpendiculares, sujetan una pluma que dibuja sobre un papel. Pero este papel no está quieto, sino que es movido circularmente por el tercer péndulo. Los dos primeros péndulos generan un movimiento circular, así que el dibujo que se obtenga será el resultado de dos movimientos circulares simultáneos. El dibujo obtenido dependerá de varios factores: por un lado, cada movimiento circular tendrá su velocidad angular y su amplitud. Además, ambos movimientos irán perdiendo amplitud por efecto del rozamiento. Variando estos factores obtendremos estrellas, espirales, complejos entrelazados y sorprendentes formas de concha. Aquí van algunos ejemplos:

Esta figura aparece en Harmonograph, de Ashton.

Una buena práctica podría consistir en construir uno de tales aparatos. Sin embargo, o en su defecto, podemos hacer una simulación informática, para lo cual vamos a obtener las ecuaciones del movimiento de la pluma: dado que un movimiento circular de frecuencia angular \(\omega\) y amplitud \(a\) tiene por ecuaciones: \[\left\{\begin{array}{rcl} x = a cos(\omega t)\\y = a sen(\omega t)\\ \end{array}\right.\]

Si son dos los movimientos circulares que actúan sobre la pluma, tendremos:

\[\left\{\begin{array}{rcl} x = a_1 cos(\omega_1 t)+a_2 cos(\omega_2 t)\\y = a_1 sen(\omega_1 t)+a_2 sen(\omega_2 t)\\ \end{array}\right.\]

Si, además, tenemos en cuanta que el movimiento irá perdiendo amplitud poco a poco, las ecuaciones se verán multiplicadas por el factor \(e^{-\mu t}\):

\[\left\{\begin{array}{rcl} x = e^{-\mu t}(a_1 cos(\omega_1 t)+a_2 cos(\omega_2 t))\\y = e^{-\mu t}(a_1 sen(\omega_1 t)+a_2 sen(\omega_2 t))\\ \end{array}\right.\]

La construcción siguiente representa gráficamente estas ecuaciones. Además de los cinco parámetros indicados, aparece uno más, t, para controlar durante cuánto tiempo está la pluma dibujando sobre el papel. Modificando los seis deslizadores podemos explorar la enorme riqueza de armonógramas que el aparato puede producir.

Nota: si no encuentras los ejemplos de más arriba, aquí tienes los parámetros (las imágenes están numeradas de izquierda a derecha y de arriba a abajo):