Las propiedades de reflexión de las cónicas

Si desde un foco de una elipse sale un rayo luminoso (o una bola de billar, ya puestos) y este se refleja en la curva, el rayo (o la bola) irá a parar al otro foco.

En la figura siguiente, haciendo clic en el botón Iniciar, podemos arrastrar el punto rojo para elegir el lugar donde queremos que rebote nuestra bola. A ver si le aciertas al otro foco...

Esta propiedad ha sido utilizada por espías varios para enterarse de conversaciones ajenas en las llamadas galerías de susurros.

Para los más matemáticos, tenemos una justificación análitica.

El caso de la hipérbola es curioso: si lanzamos el rayo luminoso (o la bola de billar) desde un foco contra la curva, si esta es reflectante, el rayo no podrá pasar al otro lado. ¿Qué hace entonces el rayo? Pues seguir el camino del otro foco, pero en sentido contrario.

En la figura siguiente, como antes, el punto rojo nos permite elegir el lugar de impacto.

También es curioso el comportamiento de la parábola. Como sabemos, esta tienen un solo foco. Sin embargo, si pensamos que el segundo foco se ha ido al infinito, entenderemos por qué los rayos luminosos que parten del foco e indicen en la parábola salen reflejados paralelelamente a su eje y se van, precisamente, hacia el infinito.

Como antes, el punto rojo nos permite...

Esta propiedad es la que hace que la sección parabólica sea tan útil para construir reflectores de luz (que por eso se llaman focos), o antenas parabólicas, si tenemos en cuenta que el proceso inverso funciona igualmente: todos los rayos que inciden en la parábola paralelamente a su eje, al rebotar se dirigen disciplinadamente al foco, que recoge enfoca así gran cantidad de información. Esto mismo es lo que ocurre en los reflectores sonoros de sección parabólica o en los espejos ustorios, que concentran la radiación electromagnética para conseguir elevadas temperaturas.

Visto lo visto, se entenderá la etimología de foco.

Apendice: demostración de la reflexión foco a foco de la elipse

En Las cónicas vimos que una elipse centrada en el origen con focos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\) semiejes a y b tiene por ecuación

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \ \ \ \ \ \ \ [1]\]

Dado un punto \(P=(p, q)\) de la elipse, vamos a calcular los ángulos que forman los vectores F'P y FP con la normal a la curva en P. Si esos ángulos son iguales, habremos demostrado que la reflexión de F'P es FP.

Derivamos en [1]: \(2b^2x+2a^2yy'=0\)

Despejando se tiene \(y'=\dfrac{-b^2x}{a^2y}\),

que en el punto P será \(y'=\dfrac{-b^2p}{a^2q}\)

Siendo lo anterior la pendiente de la recta tangente, la de la normal será: \(m_n=\dfrac{a^2q}{b^2p}\),

lo que nos permite elegir el vector normal \(n=(b^2p,a^2q)\)

Sean los vectores \(F'P=(p+c,q)\) y \(FP=(p-c,q)\)

Se tiene entonces:

\[cos(n,F'P)=\dfrac{n·F'P}{|n|·|F'P|}=\dfrac{b^2p(p+c)+a^2q^2}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}}\]

Desarrollando en el denominador:

\[cos(n,F'P)=\dfrac{b^2p^2+b^2pc+a^2q^2}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [2]\]

Por [1], como P es de la elipse, \(b^2p^2+a^2q^2=a^2b^2 \ \ \ \ \ \ \ [3]\).

Sustituyendo en [2] y sacando factor común,

\[cos(n,F'P)=\dfrac{b^2(a^2+pc)}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [4]\]

Vamos a simplificar el cociente \(\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [5]\).

Despejando en [3], tenemos que

\[q^2=\dfrac{a^2b^2-b^2p^2}{a^2}=b^2-\dfrac{b^2p^2}{a^2}\]

Sustituyendo en [5], desarollando y simplificando tenemos

\[\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}}=\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+b^2-\dfrac{b^2p^2}{a^2}}}=\dfrac{a(a^2+pc)}{\sqrt{(a^2+pc)^2}}=a \ \ \ \ \ \ \ [6]\]

No ha estado mal, ¿verdad?

Sustituyendo ahora [6] en [4]

\[cos(n,F'P)=\dfrac{ab^2}{\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [7]\]

Lo interesante del asunto es que siguiendo los mismos pasos, el coseno del ángulo formado por el vector normal y el vector FP vale exactamente lo mismo:

\[cos(n,FP)=\dfrac{ab^2}{\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ [8]\]

Así, los ángulos formados por los segmentos FP y F'P con la normal en el punto de incidencia P son iguales y por tanto reflejo uno del otro, que es lo que queríamos demostrar.