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Las cónicas

A.

Índice

1. Secciones de un cono.

2. Lugares geométricos.

3. Equivalencia de las secciones cónicas y los lugares geométricos.

   

1. Secciones de un cono

1.1 Las secciones

Intentando conseguir la duplicación del cubo, Menecmo descubrió las cónicas. Más tarde, Apolonio les dedicó un tratado de tal fama que todos los demás quedaron olvidados. La cuestión es que ya desde la antigua Grecia se estudiaron las secciones planas de un cono, es decir, las curvas que surgen al cortar un cono con un plano.

Aunque al hablar de cónicas nos referimos normalmente a la elipse, la hipérbola y la parábola, las secciones planas pueden ser siete, pues a las tres anteriores hay que añadir la circunferencia (en realidad una elipse de excentricidad cero) y las llamadas cónicas degeneradas, que son aquellas que surgen al cortar el cono por un plano que pasa por su vértice, a saber: el punto, la recta, y el par de rectas.

Si el plano de corte no pasa por el vértice, tenemos entonces los siguientes casos:

  • El plano de corte es perpendicular al eje del cono: circunferencia.
  • El plano está inclinado, pero menos que la generatriz del cono: elipses.
  • El plano es paralelo a la generatriz del cono: parábola.
  • La inclinación del plano es mayor que la de la generatriz: hipérbolas.

Es importante señalar que tanto la circunferencia como la parábola son casos frontera, en el sentido de que se dan para una inclinación en particular, mientras que elipses e hipérbolas se dan en todo un rango infinito de casos. De hecho, se demuestra que todas las parábolas son iguales.

En la figura los botones nos permiten ver un ejemplo de cada tipo. Con los deslizadores podemos modificar el ángulo del cono y la inclinación del plano de corte y mover este en vertical y, para planos verticales, también en horizontal.

Figura 1

1.2 Transiciones

La siguiente figura permite ver las cónicas en el plano, ya desvinculadas del cono, pero manteniendo la relación que las une: empezando en una circunferencia, si hacemos girar el plano manteniendo fijo el centro de la circunferencia, obtendremos, sucesivamente, elipses, la parábola, hipérbolas y dos rectas que se cruzan. Los secciones corresponden a un cono cuyas generatrices forman 45º con la horizontal y a un plano de corte inclinado un ángulo \(\alpha\). Los puntos F y F' son los puntos llamados focos, mientras que los puntos A, A', B y B' son los vértices. El significado de estos puntos se puede ver en el apartado 2.

La epsilon \((\epsilon)\) que aparece por ahí es la excentricidad, y está relacionada con la inclinación del plano de corte por la fórmula \(\epsilon=\sqrt{2}sen\alpha\), de modo que para \(\alpha=0\) tenemos una circunferencia (\(\epsilon=0\)); para \(\alpha\) entre 0º y 45º, elipses (\(0<\epsilon<1\)); para \(\alpha=45º\), una parábola \((\epsilon=1)\); y para \(\alpha\) entre 45º y 90º hipérbolas (\(1<\epsilon<\infty\)), siendo el caso \(\alpha=90º\) el de la cónica degenerada consistente en dos rectas que se cortan.

Podemos ver la transición entre las distintas cónicas manualmente moviendo el deslizador verde o automáticamente con el botón Animación.

Figura 2

¿Te has fijado en que un foco desaparece por la derecha y aparece por la izquierda? Como si hubiese dado la vuelta por detrás, ¿verdad? Pues algo así es, porque en el caso de la parábola el foco de la derecha se va al infinito (ya lo vio así Kepler), desde donde regresa después convertido en el foco izquierdo de las hipérbolas. De laguna forma, las hipérbolas son elipses infinitas.

Un tema interesante es que los griegos, que ya conocían estas curvas de sorprendentes propiedades, las estudiaron porque... porque si. Luego resultó que nos sirvieron para describir el movimiento de los astros (en realidad el de que cualquier móvil en un campo gravitatorio) o para fabricar faros, antenas parabólicas o chimeneas gigantes gracias a sus propiedades de reflexión, pero todas esas fueron historias que vinieron después: primero fue la invetigación pura, el puro afán de conocer, y esto es algo en lo que deberían pensar aquellos que desprecian alegremente la importancia de la investigación básica.

 

1.3 La ecuación

Para representar la sección cónica de arriba he calculado su ecuación de la siguiente manera:

Dado un ángulo \(\alpha\), \((0\leq\alpha\leq90º )\), considero el plano que pasa por el punto (0, 0, q) y tiene por vectores directores (0, 1, 0) y \((cos\alpha, 0, sen\alpha)\).

Su ecuación será entonces:

\[det\begin{pmatrix}{x}&{0}&{cos\alpha}\\{y}&{1}&{0}\\{z-q}&{0}&{sen\alpha}\end{pmatrix}=0\]

Desarrollando el determinante, se tiene:

\[x·sen\alpha-(z-q)cos\alpha=0\ \ \ \ \ \ [1]\]

Considero también un cono recto que tiene como eje al eje OZ. Si \(\beta\), \((0<\beta<90º )\), es el ángulo que una generatriz forma con la horizontal, para cada valor de z dará una circunferencia de radio \(\dfrac{z}{tg\beta}\). Su ecuación será:

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\ \ \ \ \ \ [2]\].


Figura 3

La cónica que buscamos es la solución del sistema formado por las ecuaciones [1] y [2], por lo que vamos a resolverlo:

Despejamos z en [1]: \[z=xtg\alpha+q\]

y sustituimos en [2]:

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{xtg\alpha+q}{tg\beta}\right)^2\]

La curva anterior está incluida en el plano [1]. Allí podemos tomar como uno de los ejes de un sistema de referencia uno paralelo al vector (0, 1, 0). Al ser paralelo al eje OY esta coordenada nos vale tal cual. El otro eje será paralelo al vector \((cos\alpha, 0, sen\alpha)\). Este forma con el eje OX un ángulo \(\alpha\) (ver figura de arriba), por lo que cambio la x por \(xcos\alpha\).

\[(xcos\alpha)^2+y^2=\left(\dfrac{xcos\alpha tg\alpha+q}{tg\beta}\right)^2\]

Desarrollando y simplificando un poco llegamos a:

\[\boxed{y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}}\]

Haciendo \(q=1\) y \(\beta=45º\), queda la ecuación

\[y^2=-x^2cos2\alpha+2xsen\alpha+1\]

que es la que está representada en la figura 2.

1.4 La ecuación cuando el plano de corte es paralelo al eje del cono

El único corte con el cono que no hemos tenido en cuenta es el de un plano paralelo al eje OZ y que no lo contenga.

Sea un punto (r, 0, 0) del plano, y sean los vectores directores (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

La ecuación del plano será:

\[det\begin{pmatrix}{x-r}&{0}&{0}\\{y}&{1}&{0}\\{z}&{0}&{1}\end{pmatrix}=0\]

Desarrollando el determinante, se tiene:

\[x-r=0\]

Para hallar el corte con el cono basta hacer \(x=r\) en la ecuación del cono

\[x^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\]

Queda:

\[r^2+y^2=\left(\dfrac{z}{tg\beta}\right)^2\]

y, despejando,

\[\boxed{\dfrac{z^2}{tg^2\beta}-y^2=r^2}\]

 

2. Lugares geométricos

Las obtenidas en el punto anterior no son las ecuaciones a las que estamos acostumbrados. Estas surgen naturalmente de la otra forma habitual de obtener las cónicas, que es como lugares geométricos.

 

2.1 La elipse

Como lugar geométrico, la elipse se define como el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Es decir: dados dos puntos F y F' y un número \(k>d(F,F')\), P es de la elipse si \(d(P, F)+d(P, F')=k\).

En la figura, arrastrando con el boton izquierdo del ratón el punto P aparecen los puntos de la curva. La suma de las longitudes de los segmentos que unen P con F y F' es siempre la misma.

Si sustituimos los focos por estacas, los segmentos que unen los focos con P por una cuerda tensa y el punto P por un palo tendremos el llamado método del jardinero, utilizado por tan noble profesión para dibujar en el terreno parterres elípticos.

 

Vamos a calcular la ecuación de una elipse centrada en el origen con sus focos en los puntos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\). Para ello, vamos a obtener dos resultados previos.

Sea el punto \(A=(a,0)\) de la figura. Es obvio que \(d(A,F)=a-c\) y que \(d(A,F')=a+c\), de modo que si sumamos ambas distancias tenemos;

\[d(A,F)+d(A,F')=a-c+a+c=2a\]

Por lo tanto, para cualquier punto de la elipse, la suma de distancias a los focos debe ser 2a.

Si ahora nos fijamos en el punto \(B=(0, b)\), vemos que su distancia a F es la misma que sus distancia a F'. Como, por otra parte, la suma de las distancias debe ser 2a, la distancia de B a cada foco es exactamente a. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OFB, tenemos

\[a^2=b^2+c^2\]

Escribimos ahora la condición que deben cumplir por definición los puntos de la elipse. Si \(P=(x,y)\) es uno de tales puntos, se tiene que

\[d(P,F')=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\]

y que

\[d(P,F)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

La suma de ambas distancias debe ser 2a:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

Se deja solo una raíz en el miembro de la izquierda

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva al cuadrado

\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Desarrollando y simplificando

\[cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva de nuevo al cuadrado

\[c^2x^2+a^4-2cxa^2=a^2((x-c)^2+y^2)\]

Desarrollando, simplificando y sacando factor común

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Sustituyendo \(a^2-c^2\) por \(b^2\) tenemos

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\]

A mí la ecuación anterior me gusta, aunque la siguiente, obtenida dividiendo todo por \(a^2b^2\), tampoco está mal:

\[\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}\]

Si en vez de considerar constante la suma hacemos que el producto de distancias sea constante tenemos las lemniscatas.

 

2.2 La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

En la construcción tenemos una cuerda sujeta por un extremo al cartabón en el punto H y, por el otro extremo, al punto fijo F. Dicha cuerda mide lo mismo que la distancia del punto H a la recta directriz (la longitud del cateto largo del cartabón). Manteniendo tensa la cuerda y pegada todo lo posible al cartabón, conseguimos que las distancias del punto G a F y a la directriz sean siempre iguales. Moviendo el punto de la directriz se obtienen los puntos de la parábola. Moviendo el foco se consiguen parábolas más o menos cerradas.

 

Vamos a calcular la ecuación de la parábola que surge de colocar el foco en el punto \(F=(0, p/2)\) y la directriz en la recta \(y=-\dfrac{p}{2}\), de modo que p es la distancia entre el foco y la directriz.

Dado un punto \(X=(x,y)\) de la parábola, es obvio que

\[d(X,directriz)=y+\dfrac{p}{2}\]

y que

\[d(X,F)=\sqrt{x^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2}\].

Como ambas distancias deben ser iguales por definición, igualamos ambas expresiones:

\[\sqrt{x^2+\left(y-\dfrac{p}{2}\right)^2}=y+\dfrac{p}{2}\]

Elevando al cuadrado y desarrollando:

\[x^2+y^2+\dfrac{p^2}{4}-yp=y^2+\dfrac{p^2}{4}+yp\]

Simplificando:

\[\boxed{x^2=2py}\]

 

2.3 La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Sí, si en la elipse era la suma, ahora es la resta).

La construcción nos muestra un procedimiento para obtener la curva: sean F y F' los focos. Dibujamos centrada en F, podría ser F', una circunferencia de radio k (esta va a ser la constante de la definición). Para cada punto P de la circunferencia consideramos, por un lado, la recta que lo une con F y, por otro, la mediatriz del segmento que lo una con F'. Ambas rectas se cortarán en un punto H.

Ahora bien: por ser H de la mediatriz, se tiene que \(d(H, F') = d(H,P)\).

Por otra parte, es obvio que \(d(H,F)=d(H,P)+d(P,F)\).

Restando ambas distancias se tiene: \(d(H,F)-d(H, F') ==d(H,P)+d(P,F)-d(H,P)=d(P,F)=k\).

Y esto para cualquier punto P, de modo que, arrastrándolo a lo largo de la circunferencia, tendremos una bonita hipérbola.

(Lo anterior vale para los puntos H de la rama izquierda. Para la rama derecha se demuestra de un modo similar).

 

La ecuación

Vamos a calcular la ecuación de una hipérbola centrada en el origen con sus focos en los puntos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\). Para ello, vamos a obtener dos resultados previos.

Sea el punto \(A=(a,0)\) de la figura. Es obvio que \(d(A,F)=c-a\) y que \(d(A,F')=a+c\), de modo que si restamos ambas distancias tenemos;

\[d(A,F')-d(A,F)=a+c-(c-a)=2a\]

Por lo tanto, para cualquier punto de la elipse, la diferencia de distancias a los focos debe ser 2a.

Si ahora nos fijamos en el rectángulo dibujado entre las dos ramas de la hipérbola, vemos que se ha construido de modo que su base sea 2a y su diagonal 2c. Llamamos b a la mitad de su altura. Este valor b no solo va a interpretar el papel de la b de la ecuación de la elipse (apartado 2.1), sino que tiene un significado geométrico preciso, porque +b/a y -b/a son las pendientes de las asíntotas de la hipérbola (de hecho, las dos diagonales del rectángulo están contenidas en las asíntotas).

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OAB, tenemos

\[c^2=a^2+b^2\]

Escribimos ahora la condición que deben cumplir por definición los puntos de la elipse. Si \(P=(x,y)\) es uno de tales puntos, se tiene que

\[d(P,F')=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\]

y que

\[d(P,F)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

La diferencia de ambas distancias debe ser 2a:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

Se deja solo una raíz en el miembro de la izquierda

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva al cuadrado

\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Desarrollando y simplificando

\[cx-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva de nuevo al cuadrado

\[c^2x^2+a^4-2cxa^2=a^2((x-c)^2+y^2)\]

Desarrollando, simplificando y sacando factor común

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Sustituyendo \(a^2-c^2\) por \(-b^2\) tenemos

\[-b^2x^2+a^2y^2=-a^2b^2\]

Dividiendo todo por \(-a^2b^2\), tenemos:

\[\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}\]

Las asíntotas

Vamos a calcular las asíntotas de la hipérbola. Lo haremos para la rama positiva derecha. Los otros tres casos son prácticamente idénticos.

Si de la ecuación de la hipérbola despejamos la variable y (y nos quedamos con el valor positivo) tenemos la función: \[f(x)=\sqrt{\left(\dfrac{x^2}{a^2}-1\right)b^2}=\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\]

Que no tiene asíntotas horizontales es obvio: \[\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}=\infty\]

Si tiene una asíntota oblicua, su pendiente será:

\[m=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{f(x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\dfrac{b}{a}\sqrt{1-\dfrac{a^2}{x^2}}}=\dfrac{b}{a}\]

Calculamos ahora la ordenada en el origen:

\[n=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{(f(x)-mx)}=\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}-\dfrac{b}{a}x\right)}=\dfrac{b}{a}\displaystyle\lim_{x \to \infty}{\left(\sqrt{x^2-a^2}-x\right)}=0\]

Por lo tanto, la recta \[\boxed{y=\dfrac{b}{a}x}\] es asíntota de la hipérbola.

 

2.4 Resumiendo

Elipse Parábola Hipérbola
\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\] \[x^2=2py\] \[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

 

3. Equivalencia de las secciones cónicas y los lugares geométricos

Introducción

En las casi tres décadas que he estado en la enseñanza he contado las cónicas montones de veces. Siempre lo he hecho mediante las dos aproximaciones clásicas, a saber: como secciones planas de un cono y también como lugares geométricos basados en propiedades métricas. Como, además, suelo aderezar la explicación con las propiedades de reflexión de estas curvas, pues la cosa suele salir bien.

Sin embargo, hace poco, tras llevar cierto tiempo poniendo en limpio el material que tenía por ahí disperso en Epsilones acerca de las cónicas, me di cuenta, no sin cierta vergüenza, de que nunca me había demostrado a mí mismo que ambas construcciones, cónica y métrica, daban lugar al mismo tipo de objetos. Puesto a la tarea, obtuve lo que viene a continuación. Quizá haya métodos más elegantes de demostrar la equivalencia de ambas familias de curvas: de hecho, el trabajo del propio Apolonio no fue, obviamente, analítico, sino basado en semejanzas de triángulos, pero yo me muevo mejor con las ecuaciones y cada uno hace lo que puede.

Lo mejor de todo es que, en el proceso, no solo me demostré lo que ya sabía, sino que obtuve algo que no sabía. Tras pasar de la ecuación de la sección cónica a la ecuación como lugar geométrico, y para acabar de cerrar el círculo, obtuve la excentricidad de la cónica a partir del ángulo \(\beta\) que forma la generatriz del cono con la horizontal y del ángulo \(\alpha\) que forma, también con la horizontal, el plano secante. Como verás más abajo, hay varios casos, y las expresiones iniciales son algo confusas, pero luego la cosa se simplifica y acaba apareciendo una expresión de gran elegancia.

La idea general

A partir de la ecuación de una sección cónica, expresada en función de los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\), voy a obtener la ecuación reducida de dicha cónica, expresada en función de sus semiejes a y b.

Esto lo voy a hacer para lo tres casos que se pueden presentar según el plano secante tenga una inclinación menor, mayor o igual que la generatriz del cono (para cubrir todas las posibilidades añado un cuarto caso que considera un plano vertical que no contiene a OZ).

Al obtener las ecuaciones, demuestro además que los casos citados corresponden, respectivamente, a elipses, hipérbolas y parábolas.

Finalmente, definida la excentricidad métricamente a partir de los semiejes de las cónicas, demuestro que, en todos los casos, esta puede calcularse mediante la fórmula: \[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

La fórmula anterior permite, dada una cónica cualquiera, escoger un cono y un plano cuyo corte sea la conica deseada, lo cual cierra el viaje de ida y vuelta entre las dos formas de definir estas curvas.

La ecuación

Sea \(\beta\) el ángulo que forma la generatriz de un cono con la horizontal, \(\alpha\) el ángulo que forma, también con la horizontal, el plano secante y \((0, 0, q)\) un punto de dicho plano. En estas condiciones, como se ha visto en el apartado 1.3, la ecuación de la cónica resultante es:

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}\]

donde \((0\leq\alpha\leq90º )\) y \((0<\beta<90º )\).

Multiplicando por \(tg^2\beta\) se tiene

\[y^2tg^2\beta=x^2\left(sen^2\alpha-cos^2\alpha tg^2\beta\right) +2xqsen\alpha+q^2\]

y, simpificando un poco,

\[y^2tg^2\beta=x^2\left(1-\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}\right)+2xqsen\alpha+q^2\ \ \ \ \ \ [1]\]

A partir de aquí vamos distinguir tres casos según sea la relación entre \(\alpha\) y \(\beta\):

1. \(\alpha < \beta\)

Si \(\alpha < \beta\), para los valores de los ángulos considerados, se tiene que : \(\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}>1\)

Llamamos A = \(\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}-1}\)

Sustituyendo en [1]

\[y^2tg^2\beta=-x^2A^2+2xqsen\alpha+q^2\]

Traemos a la izquierda y ponemos en forme de potencia de un binomio:

\[y^2tg^2\beta+\left(xA-\dfrac{qsen\alpha}{A}\right)^2-\dfrac{q^2sen^2\alpha}{A^2}=q^2\]

\[y^2tg^2\beta+\left(xA-\dfrac{qsen\alpha}{A}\right)^2=q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)\]

\[y^2tg^2\beta+A^2\left(x-\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2=q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)\]

Dividiendo:

\[\dfrac{\left(x-\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}=1\ \ \ \ \ \ [2]\]

En la ecuación anterior los dos denominadores son evidentemente positivos, por lo que nos encontramos ante la ecuación de una elipse desplazada a lo largo del exe OX: \[\dfrac{x^2-x_0}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\].

Vamos a calcular su excentricidad:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [2] tenemos:

\[\epsilon=\sqrt{1-\dfrac{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(1+\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}\right)}}=\sqrt{1-\dfrac{A^2}{tg^2\beta}}=\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}-1}^2}{tg^2\beta}}\]

Simplificando un poco, y no es broma, se llega a que:

\[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

2. \(\alpha > \beta\)

Si \(\alpha > \beta\), para los valores de los ángulos considerados, se tiene: \(\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}<1\)

Llamamos A = \(\sqrt{1-\dfrac{cos^2\alpha}{cos^2\beta}}\)

Sustituyendo en [1]

\[y^2tg^2\beta=x^2A^2+2xqsen\alpha+q^2\]

Repitiendo el proceso del punto 1., se llega a la ecuación

\[\dfrac{\left(x+\dfrac{qsen\alpha}{A^2}\right)^2}{\dfrac{1}{A^2}q^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}-1\right)}-\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{tg^2\beta}q^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{A^2}-1\right)}=1\ \ \ \ \ \ [3]\]

En la ecuación anterior los dos denominadores son positivos (se demuestra utilizando que \(cos\alpha<cos\beta\)), por lo que nos encontramos ante la ecuación de una hipérbola desplazada a lo largo del exe OX: \[\dfrac{x^2-x_0}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\].

Veamos la excentricidad:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [3] y simplificando llegamos de nuevo a la fórmula

\[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}\]

3. \(\alpha = \beta\)

Si ambos ángulos son iguales, la ecuación de partida

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\beta}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\beta}+\dfrac{q^2}{tg^2\beta}\]

queda:

\[y^2=x^2\left(\dfrac{sen^2\alpha}{tg^2\alpha}-cos^2\alpha\right)+x\dfrac{2qsen\alpha}{tg^2\alpha}+\dfrac{q^2}{tg^2\alpha}\]

Simplificando:

\[y^2=2qcos\alpha x+\dfrac{q^2}{tg^2\alpha}\]

que es la ecuación de una parábola con eje de simetría horizontal y desplazada respecto de dicho eje:

\[y^2=2p(x-x_0)\]

La excentricidad de un parábola es uno, lo cual concuerda con la fórmula obtenida en los dos casos anteriores: \[\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}=\dfrac{sen\alpha}{sen\alpha}=1\]

Plano vertical

El único caso que queda por considerar es el de la sección obtenida al cortar el cono con un plano vertical \((\alpha=90º)\) que no pase por el origen.

Como se vio en el apartado 1.4, la ecuación de una sección así es:

\[\dfrac{z^2}{tg^2\beta}-y^2=r^2\]

Dividiendo por \(r^2\) se tiene

\[\dfrac{z^2}{r^2tg^2\beta}-\dfrac{y^2}{r^2}=1\ \ \ \ \ [4]\]

que es, de nuevo, la ecuación de una hipérbola.

La excenticidad será:

\[\epsilon=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\]

Sustituyendo \(a^2\) y \(b^2\) por los denominadores de [4]

\[\epsilon=\sqrt{1+\dfrac{r^2}{r^2tg^2\beta}}\]

Simplificando

\[\epsilon=\dfrac{1}{sen\beta}\]

Como \(\alpha=90º\) , \(sen\alpha=1\) y, por tanto, de nuevo

\[\boxed{\epsilon=\dfrac{sen\alpha}{sen\beta}}\]


► Bibliografía: Tratado sobre las secciones cónicas.
Bestiario: cónicas.

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