Hipercubo tetradimensional o tesseract

Solo el nombre asusta, ¿verdad? Pero no hay por qué preocuparse, pues no es para tanto. De hecho, esta práctica consiste únicamente en mover un poco el ratón del ordenador y mirar. ¿El qué?: pues un objeto de cuatro dimensiones espaciales: el hipercubo.

Construcción de un hipercubo

Para hacernos una idea de qué es un cubo tetradimensional vamos a razonar por analogía: pensemos en un punto situado sobre una mesa que se desplaza a lo ancho una unidad: lo que describe es un segmento, del que diremos que tiene dimensión 1. Si este segmento lo desplazamos a lo largo de la mesa una unidad describirá un cuadrado, del que diremos que tiene dimensión 2. El tercer paso es igual de sencillo: si levantamos el cuadrado en perpendicular una unidad, el cuadrado barrerá un volumen al que llamamos cubo y del que podemos decir que tiene dimensión 3. Pues ahora viene el paso crucial: si en vez de vivir en un universo de tres dimensiones espaciales viviésemos en uno de cuatro podríamos repetir el proceso y desplazar el cubo en esa cuarta dimensión adicional y en perpendicular a las otras tres. Lo que obtendríamos en ese caso tiene un nombre: hipercubo.

Preguntas: ¿cuántos vértices, aristas y caras tiene un hipercubo? ¿Cuántos cubos le "rodean"?

Secciones del hipercubo

¿Podemos ver un hipercubo? Evidentemente no, si lo que queremos es percibirlo de un solo vistazo como hacemos con un cubo. Pero lo que sí podemos hacer es ver sus secciones tridimensionales. Lo mejor para entender esto es poner un ejemplo en dos dimensiones: imaginemos que fuesemos seres planos para los que arriba y abajo fuesen palabras sin sentido. Naturalmente, no podríamos ver un cubo, porque literalmente no cabría entero en nuestro mundo: pero sí podríamos ver parte de él, aquella que correspondería a una "tajada" o sección plana de su volumen. Esta "tajada" dependería de la forma en que el cubo entrase en contacto con nuestro universo plano. Veamos un par de ejemplos:

En los dibujos anteriores, las líneas verdes muestran lo que unos sencillos seres planiformes podrían ver en cada caso de un cubo.

¿Está claro? Pues esto mismo es lo que podemos hacer con el hipercubo. Al entrar éste en contacto con nuestro mundo, parte de su hipervolumen, una sección, una "tajada" tridimensional, será accesible a nuestra vista.

Proyección del hipercubo

También podemos hacer otra cosa: ver la proyección de todas sus aristas. En nuestro mundo es lo que hacemos cuando dibujamos un cubo en una hoja de papel: representamos mediante líneas (las líneas grises de los ejemplos de arriba) la sombra de cada una de sus aristas y después dejamos que nuestro cerebro se imagine que aquello es realmente un cubo, aunque no lo es: solo es su proyección (de hecho, nuesto cerebro a veces se hace un lío, como pasa con el cubo de Necker).

Pues con el hipercubo podemos hacer lo mismo y representar la sombra de todas sus aristas.

El programa d4.exe

Por fin llegamos al programa, que en un arrebato de originalidad he llamado D4: se puede conseguir con un simple clic sobre el siguiente enlace: descarga del programa d4.exe (son solo 48 Kb). OJO: es probable que te salga un aviso de amenaza por parte de tu antivirus. Lo cierto es que si lo descargas y, para evitar riesgos, antes de ejecutarlo le pasas el antivirus, te dirá que no, que no es una amenaza.

D4 obtiene la sección y la proyección del hipercubo en la pantalla del ordenador; nos permite acercarlo o alejarlo de nuestro mundo; y, además, nos permite girarlo de seis modos distintos. Esto último exige una pequeña explicación:

Los giros son movimientos que se realizan en paralelo a un plano. En tres dimensiones para poder ver un objeto desde cualquier ángulo nos basta considerar tres giros, uno por cada plano coordenado. Pero en cuatro dimensiones tenemos cuatro ejes y, por lo tanto, ¡seis planos coordenados!

Algo digno de ver es cómo el hipercubo aparece y desaparece de nuestro mundo. Según la posición relativa de ambos, el hipercubo puede aparecer como un punto que de inmediato se convierte en un tetraedro, o como un cuadrado, o incluso como un cubo que de pronto surge de la nada.

Intuyendo la cuarta dimensión

Dijo Poincaré: "ninguna de nuestras sensaciones, aislada, habría podido conducirnos a la idea de espacio; hemos sido conducidos a ella solamente estudiando las leyes según las cuales esas sensaciones se suceden". Dicho de otra manera: intuimos las tres dimensiones por la forma en que nuestra percepción de los objetos, lo que vemos, cambia cuando nos desplazamos con respecto de ellos. Basándose en esa idea, que seguramente tomó de la obra de Berkeley New Theory of Vision, Poincaré especuló sobre la posibilidad de intuir la cuarta dimensión espacial y desarrolló todo un plan de entrenamiento para conseguirlo.

Este programa que propongo permite al menos intentarlo.