Curvas de Bézier

El primero en desarrollarlas, en 1959, fue Paul de Casteljau, un matemático de la compañía Citroën, aunque quien las popularizó tres años más tarde fue el ingeniero de la Renaul Pierre Bézier, de quien toman el nombre.

Su construcción es sencilla. Sea \(l\) un parámetro que se mueve en el intervalo \([0, 1]\).

Si tenemos dos puntos \(P_0, P_1\), un punto \(Q\) que vaya de uno a otro recorrerá un segmento según la ecuación lineal: \[Q(l)=(1-l)P_0+lP_1\]

Desde luego, la trayectoria apasionante no es. Sin embargo, la cosa mejora con tres puntos. Dados \(P_0, P_1, P_2\) podemos considerar los puntos \(Q_0, Q_1\) que se mueven de \(P_0\ a\ P_1\) y de \(P_1\ a\ P_2\) respectivamente según las ecuaciones lineales:

\[Q_0(l)=(1-l)P_0+lP_1\]

\[Q_1(l)=(1-l)P_1+lP_2\]

Si ahora, a su vez, consideramos el punto \(R\) que se mueve entre los puntos móviles \(Q_1\ y \ Q_2\), tendremos la ecuación cuadrática

\[R(l)=(1-l)Q_0(l)+lQ_1(l)\]

Sustituyendo:

\[R(l)=(1-l)((1-l)P_0+lP_2)+l·((1-l)P_1+lP_2)\]

Y simplificando:

\[R(l)=(1-l)^2P_0+2(1-l)lP_1+l^2P_2\]

En la constucción siguiente, además de activar el rasto o directamente la curva resultante, puedes arrastrar los puntos rojos y empezar a ver las posibilidades que estas curvas ofrecen al diseño.

Hemos mejorado, ¿verdad? Pues podemos hacerlo aún mejor con cuatro puntos \(P_0, P_1, P_2, P_3\): Repitiendo el proceso anterior, tenemos tres ecuaciones lineales:

\[Q_0(l)=(1-l)P_0+lP_1\]

\[Q_1(l)=(1-l)P_1+lP_2\]

\[Q_2(l)=(1-l)P_2+lP_3\]

que dan lugar a las dos ecuaciones cuadráticas

\[R_0(l)=(1-l)Q_0+lQ_1\]

\[R_1(l)=(1-l)Q_1+lQ_2\]

y a la cúbica

\[S(l)=(1-l)R_0+lR_1\]

que, sustituyendo y simplificando, queda:

\[S(l)=(1-l)^3 P_0+3(1-l)^2 lP_1+3(1-l)l^2 P_2+l^3 P_3\]

A los puntos intermedios, puntos por los que no pasa la curva pero que definen su forma (puntos \(P_1\ y\ P_2\) en el ejmplo), se les llama puntos de control. Al disponer de dos de tales puntos para modificar la curvatura, las posibilidades se amplian de un modo muy interesante.

Observando la cúbica anterior es fácil conjeturar que la curva de Bézier de grado n, construida a partir de n+1 puntos, tiene por ecuación:

\[B(l)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{ \displaystyle\binom{n}{i}}(1-l)^{n-i}l^iP_i\]

lo cual se demuestra fácilmente por inducción, cosa que dejo como ejercicio para el lector.

Vistas la construcción y las ecuaciones, toca jugar un poco. La construcción siguiente contiene una herramienta (el boton con la llave inglesa) que genera curvas cúbicas de Bézier. Tras seleccionarla, se marcan con clics de ratón cuatro puntos sobre el lienzo. Al seleccionar el cuarto aparece automáticamente la correspondiente curva. Una vez trazada, se puede modificar arrastrando los puntos de control con el botón izquierdo del ratón.

Las curvas de Bézier son infinitamente diferenciables, sencillas y fácilmente manipulables gracias a sus puntos de control. Otra propiedad interesante es que son tangentes a los segmentos formados por los dos primeros puntos y por los dos últimos. Esto permite empalmarlas con suavidad diferencial. Para ver a lo que me refiero, prueba a seguir los siguientes pasos en la construcción anterior:

1. Elige la herramienta de la llave inglesa, marca cuatro puntos y genera así una curva.
2. Elige ahora la herramienta para generar rectas y une los dos últimos puntos de los que marcaste previamente.
3. Vuelve a elegir la herramienta de la llave y marca como primer punto el último de la curva anterior. Luego, marca un segundo punto en la recta que has dibujado. Finalmente, marca otros dos puntos donde quieras.

Si todo ha ido bien, tendrás dos curvas de Bézier unidas como en el ejemplo siguiente:

Con el procedimiento anterior podemos obtener curvas cerradas. Con dos curvas es suficiente, pero en el siguiente ejemplo lo he hecho con tres. Con los botones de reproducción se puede ver la construcción paso a paso.

Hala, a diseñar.