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Perpendiculares con varillas

A.

Vamos a ver cómo construir una máquina de varillas que sirve para dibujar perpendiculares a una recta dada por dos puntos. Es obvio que la máquina convierte un movimiento circular en uno rectilíneo.

Sean los dos puntos fijos \(F_1\ y\ F_2\). En \(F_1\) tienen un extremo común dos varillas de la misma longitud. Dichas varillas sujetan un rombo. Todos los puntos de unión de las varillas son libres, por lo que el punto P, en verde, podría moverse libremente. Ahora viene la gracia: desde \(F_2\) sujetamos el punto A, en rojo, con otra varilla de la misma longitud que la distancia que hay entre \(F_1\) y \(F_2\). Con esta limitación, resulta que si movemos el punto A, que girará alrededor de \(F_2\) por la varilla que los une, el punto verde describe una trayectoria recta y perpendicular a la dirección dada por \(F_1\ y\ F_2\).

 

 

Vamos a probarlo. Hice un primer intento con coordenadas y vectores y esas cosas, pero quedó un poco farragoso. Una segunda versión es esta que viene a continuación y en la que solo echo mano de un poco de trigonometría.

Sea L la longitud de las varillas que salen de \(F_1\); l la longitud de las varillas que forman el rombo y de las cuales solo he dejado dos, las que une A con B y B con P; y sea f la distancia entre \(F_1\ y\ F_2\): estos tres valores son constantes. Luego tenemos a, que es la distancia entre \(F_1\) y el punto móvil A; y d, que es el semieje menor del rombo. Tanto a como d son variables y cambian a medida que el punto A se mueve. Finalmente, llamaré x a la distancia entre \(F_1\ y\ P_1\), siendo \(P_1\) la proyección ortogonal de P sobre la recta que une \(F_1\ y\ F_2\).

¿Qué pasa con x, es constante o variable? Bueno pues justo de eso se trata, de demostrar que x no depende del movimiento de A y que, por tanto, el punto P se mueve perpendicularmente a la recta que une \(F_1\) con \(F_2\).

Aplicando el teorema del coseno al triángulo \(ABF_1\), tenemos:

\[l^2=L^2+a^2-2aLcos{\beta} \Rightarrow cos{\beta}=\dfrac{l^2-L^2-a^2}{-2aL}\]

Por otra parte, en el triángulo \(CBF_1\) tenemos, por definición, que \[cos{\beta}=\dfrac{a+d}{L}\]

Igualamos:

\[\dfrac{l^2-L^2-a^2}{-2aL}=\dfrac{a+d}{L}\]

Despejamos d:

\[d=\dfrac{L^2-l^2-a^2}{2a}\ \ \ \ \ [1]\]

Pasamos ahora al ángulo \(\alpha\).

En el triángulo \(DF_1F_2\), \(cos{\alpha}=\dfrac{\frac{a}{2}}{f}\), mientras que en el triángulo \(PF_1P_1\), \(cos{\alpha}=\dfrac{x}{a+2d}\)

Igualamos: \(\dfrac{\frac{a}{2}}{f}=\dfrac{x}{a+2d}\)

Despejamos: \(x=\dfrac{a(a+2d)}{2f}\)

y sustituimos d por la expresión [1]: \(x=\dfrac{a\left(a+2\dfrac{L^2-l^2-a^2}{2a}\right)}{2f}\)

Ya solo queda simplificar para ver que

\[x=\dfrac{L^2-l^2}{2f}\]

y que, por tanto, x no depende de la posición de A en su movimiento alrededor de \(F_2\).

En la siguiente construcción cada deslizador cambia la longitud de las varillas que salen del punto con el mismo color. Podemos ver el resultado con animación o arrastrando manualmente el punto rojo. También me ha parecido interesante hacer una versión con aros en vez de con varillas.


Bibliografía: Mathematical Snapshots, p.139.
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