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Engordando curvas

A.

El problema es el siguiente: dada una curva f(s) en \(\mathbb{R}^3\) mediente sus ecuaciones paramétricas, se trata de dibujar la curva engordada según un cierto radio r. Dicho de otra forma: queremos convertir la curva unidimensional en una superficie en forma de cilindro curvo. Lo único que vamos a pedirle a la curva es que sus componentes sean derivables.

La idea para resolver el problema es la siguiente: para cada punto de la curva, dibujaremos una circunferencia centrada en ese punto, con el radio indicado y en el plano normal (perpendicular) a la curva en el punto dado.

Vamos a desarrollar la idea paso a paso. Cada uno de ellos viene ilustrado con una gráfica interactiva. Hay que tener en cuenta lo siguiente:

  • Las gráficas tardan algo en generarse: paciencia.
  • Las gráficas pueden moverse arrastrando con el botón derecho del ratón.
  • Se pueden escribir las ecuaciones paramétricas de la curva, el rango del parámetro de la curva y el radio del cilindro curvo.]

Los pasos:

1. Sea la curva \[curva(s)=(f_1(s), f_2(s),f_3(s))\]

 

2. Para cada s consideramos el vector tangente a la curva en el punto \(f(s)\): \[u(s)=(f_1'(s), f_2'(s),f_3'(s))\]

3. Construimos una base ortonormal del plano perpendicular. Para ello tomamos un vector n(s) perpendicular a u(s), el producto vectorial de ambos, \(v(s)=u(s)\wedge n(s)\) y los hacemos de módulo 1: sean estos vectores unitarios n1 y v1.

Nota: en la construcción, los vectores de la base son de radio 10 para favorecer su visualización.

 

4. Para cada punto f(s) de la curva podemos ahora dibujar la circunferencia centrada en él con radio r.

\[circunferencia(t)=f(s) + r(cos(t) n1(s) + sen(t) v1(s))\]

 

5. La superficie buscada es entonces:

\[cilindro(s,t)=f(s) + r(cos(t) n1(s) + sen(t) v1(s))\]

 


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Nota: me planteé el asunto como primer paso para dibujar una botella de Klein.

 

 
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