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Reflejos circulares

A.

Introducción: las leyes de la reflexión

Cuando un rayo de luz incide sobre una superficie reflectante se cumplen las llamadas leyes de la reflexión:

  1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en un mismo plano.
  2. El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión coinciden.

(En lo sucesivo, los puntos rojos pueden moverse arrastrándolos con el botón izquierdo ratón)

Cuando la superficie no es plana sino curva, los ángulos de incidencia y de reflexión se miden respecto de la tangente en el punto de incidencia. También la normal se refiere a esta tangente. Como se ve en la siguiente construcción, el camino seguido por el rayo reflejado es simétrico al que hubiese seguido el rayo incidente si no se hubiese encontrado con el espejo.

 

Si consideramos un espejo esférico, la primera ley de la reflexión nos dice que los rayos incidente y reflejado y la normal van a estar en un mismo plano, por lo que podemos quedarnos con dicho plano y la correspondiente sección circular de la esfera. Además, dada la curvatura constante de la esfera, una vez que un rayo de luz incida en su cara interior empezará a reflejarse, una y otra vez, siempre con el mismo ángulo y siempre en el mismo plano.

Reflejos infinitos: poligonos

La siguiente cuestión surge de modo natural: si dejamos que el rayo de luz se refleje una y otra vez sin fin, ¿qué figura se formará? Dejando a un lado toda consideración física, vamos a imaginar que nuestro rayo se refleja sin pérdida ninguna en el espejo circular. Entonces el rayo luminoso seguirá una trayectoria poligonal formada por infinitos segmentos.

Una forma de analizar la forma de esta poligonal es salirnos de las proximidades de la curva y colocarnos en el centro del círculo. Desde allí podemos fijarnos en el ángulo central que abarcan las cuerdas que unen los sucesivos puntos de contacto del rayo de luz con la curva. Si este ángulo es un divisor exacto de un giro completo, la poligonal volverá al punto de partida y se formará un polígono regular.

Si en vez de un ángulo divisor de una vuelta completo usamos ángulos que sean divisores de n vueltas, obtendremos poligonales que se acabarán cerrando después de dar n vueltas completas. El ángulo central que abarcará cada lado se obtiene trivialmente mediante la fórmula \(\alpha=\dfrac{n·360º}{m}\), siendo n el número de vueltas y m el número de lados de la poligonal.

Si m es múltiplo de n, podermos simplificar la fracción sin alterar el ángulo, de modo que obtendremos para una sola vuelta un número entero de lados y tendremos por tanto un poligono regular. Si no es así, el polígono resultante será estrellado.

Veamos ejemplos con dos vueltas:

Siempre que el ángulo central sea una parte racional de la circunferencia, la poligonal se acabará cerrando: si \(\alpha=\dfrac{p}{q}360º\), con p y q enteros tales que q no sea múltiplo de p, bastará repetir la reflexión q veces para que la poligonal se cierre a las p vueltas. Eso sí: hay que tener en cuenta que si p y q tienen un factor común r, la poligonal se redibujará r veces y el número de lados será \(\dfrac{q}{r}\).

Veamos polígonos que se cierran a las tres vueltas.

A medida que aumenta el número de vueltas, los lados se cortan entre sí en un número mayor de puntos. Pero, ¿en cuántos? Es fácil: \(2(n-1)\), pues en cada nueva vuelta tras la primera, la poligonal debe cruzar cada lado existente para tocar la circunferencia y luego una vez más para salir del segmento circular y seguir su camino.

Reflejos infinitos: poligonal abierta

¿Qué ocurre si el ángulo central no es una parte racional de la circunferencia? Pues que la poligonal nunca se cerrará: si \(\alpha=r·360º\), con r irracional, sea cual sea el número de reflexiones n, el produccto n·r nunca será entero y, por tanto, nunca será múltiplo de 360º.

De hecho, el rayo nunca incidirá en el mismo punto: supongamos lo contrario, supongamos que llegamos en dos ocasiones al mismo punto. En una lo haremos tras p reflexiones y en otra tras q reflexiones. Si \(\alpha=r·360º\), con r irracional, en un caso habremos girado p·r·360º y en el otro q·r·360º. Si ambos giros corresponden al mismo punto, su diferencia debe ser un múltiplo entero de 360º: \(p·r·360º - q·r·360º = m·360º\). Operando, tenemos que \(r=\dfrac{m}{p-q}\), lo cual es una contradicción, porque r es irracional.

La conclusión es que el rayo de luz incidirá en infinitos puntos distintos de la circunferencia. Pero, ¿tocará en todos los puntos de la circunferencia?

Mientras piensas en el asunto, puedes utilizar la siguiente construcción para explorar un poco más las reflexiones circulares.

La respuesta es no, no tocará en todos: a fin de cuentas, el número de reflejos, al producirse uno detrás de otro, será numerable, mientras que el número de puntos de la circunferencia tiene la potencia del continuo. Dicho de otra forma: aunque dejemos que el rayo se refleje por toda la eternidad, no incidirá en la mayorñia de los puntos de la circunferencia.

En cualquier caso, en un espejo real esto no debe preocuaprnos dado que el rayo de luz perderá energía en cada reflexión, desvaneciéndose rápidamente.


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