1. Lissajous y los diapasones

Afinar un instrumento musical es un problema. Salvo aquellos con un oído absoluto, la mayoría de los mortales necesitamos una referencia para poder reproducir un sonido. Para ello, hoy día se utilizan afinadores electrónicos que miden la frecuencia del sonido emitido. Sin embargo, a falta de electrónica, se usaban, y se usan, unas orquillas de metal que al golpearlas producen una cierta nota: los diapasones.

El problema entonces es saber si un diapasón está bien construído, es decir, si produce la nota esperada. Jules Antoine Lissajous, un fisico francés de mediados del siglo XIX, encontró un método para saber si dos diapasones producen exactamente la misma nota: dibujar el sonido. Con ello, a partir de un diapasón que sirviese como patrón, se podría evaluar la calidad de los nuevos diapasones.

Lissajous hizo varios experimentos para traducir en imágenes movimientos vibratorios. Uno de ellos es el que muestra la figura: colocó en un diapasón un espejito y proyectó sobre él un rayo de luz. Al hacer vibrar el diapasón, el espejito vibró solidariamente con él, y el rayo de luz, al incidir sobre una pantallla, produjo una bonita curva sinusoidal.

A continuación se le ocurrió hacer que el rayo de luz incidiese sobre dos espejos colocados sobre dos diapasones. Con diapasones paralelos obtuvo los previsibles patrones de interferencia. Pero lo más interesante vino cuando colocó los diapasones en perpendicular: proyectó entonces un rayo de luz sobre un espejo y arregló el sistema para que el reflejo de dicho rayo incidiese en el otro espejito y el rayo acabase, finalmente, proyectado en una pantalla. Como antes, al hacer vibrar los diapasones, los espejitos, solidarios con ellos, también lo hacen, de modo que el rayo de luz se mueve. Pues bien, Lissajous vio que, dependiendo de la frecuencia del sonido emitido por cada diapasón, la figura que el rayo de luz dibujaba sobre la pantalla es distinto. Lissajous había encontrado el modo de dibujar la relación entre dos notas musicales, es decir, su armonía.

Por poner un ejemplo, si ambos diapasones son unísonos, es decir, emiten la misma nota, lo que veremos en la pantalla será una elipse, un segmento o una circunferencia. Para otras relaciones armónicas, las figuras resultantes serán más complejas.

2. Dibujando el sonido con muelles

Tanto los sonidos emitidos como los dibujos generados en la pantalla son producto de la vibración de los brazos de los diapasones. Esta vibración es un caso de movimiento armónico simple, es decir, un movimiento que oscila periódicamente respecto de una posición de equilibrio bajo el efecto de una fuerza recuperadora. Para estudiar esta vibración, y calcular sus ecuaciones, vamos a pensar en otro movimiento equivalente y más fácil de comprender: el de los muelles.

Cogemos un muelle, fijamos uno de sus extremos, y unimos el otro a una cierta masa. Es evidente que si estiramos el muelle más allá de su posición de equilibrio, este se contraerá, pasará por dicha posición de equilibro, llegará a un mínimo articulos-005-lissajous-2-dosmuellese inicará el camino inverso. Si no consideramos ningún rozamiento, el muelle repetirá este proceso indefinidamente. La velocidad y frecuencia dependerán de la masa que unamos al muelle, de la posición inicial y de la constante de elasticidad del muelle (\(k_1\)).

Para simular las vibraciones que los dos diapasones perpendiculares transmiten al rayo de luz, vamos a sustituir ahora la masa del extremo libre del muelle por una plataforma perpendicular al movimiento en la que vamos a fijar un segundo muelle al que unimos una segunda masa.

Visto el modelo, vamos a obtener las ecuaciones del movimiento de la masa movida por el segundo muelle, lo que nos permitirá estudiar las trayectorias con más detenimiento y, al ser modelos equivalentes, las figuras asociadas a cada par de sonidos. Si el asunto de las ecuaciones no va contigo, puedes pasar directamente a las Las figuras de Lissajous.

3. La ecuación del muelle (un poco de física)

Los físicos nos dicen que la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es proporcional a la elongación, es decir, a la distancia a la que llevamos el muelle del punto de equilibrio, y de sentido contrario: si lo estiramos, la fuerza hará por contraer el muelle, y si lo comprimimos, por estirarlo.

Es decir: \[f=-kx\]

Como sabemos que \(f=ma\), siendo m la masa y a la aceleración, tenemos que \(ma=-kx\).

Despejando, \[a=-\dfrac{k}{m}x\]

La aceleración es una función del tiempo, por lo que la ecuación anterior es una ecuación diferencial: \[\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x\] cuya solución es \[x(t)=Asen\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi\right)\]

Veamos que significa cada símbolo.

1. Como el seno se mueve en el intervalo [-1,1], la elongación se moverá entre [-A, A], de modo que A es la amplitud del movimiento.
2. Al término \(\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi\right)\) se le llama fase. La elongación del muelle en el momento t = 0 es, \(x(0)=Asen(\phi)\), por lo que a \(\phi\) se le llama fase inicial.
3. ¿Y el coeficiente de la t? Vamos a llamar \(\omega\) a \(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\). Sabemos que la función seno es periódica de periodo \(2\pi\). Entonces, si T es el periodo de x(t), tenemos: \(sen((\omega t+\phi) +2\pi)=sen(\omega (t+T)+\phi)\), de donde se deduce que \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\), es decir, que \(\omega\) es la frecuencia angular.

Así la ecuación del muelle queda

\[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\]

que es, en general, la ecuación de un movimiento armónico simple.

4. Las ecuaciones de dos muelles perpendiculares

En el sistema de dos muelles, cada uno de ellos nos da una coordenada:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t+\phi_1)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\phi_2)\end{array}\right.\]

Para simplificar un poco las cosas, vamos a clacular la diferencia de fase entre los dos muelles. En el caos del primer muelle, su fase será cero cuando \(\omega_1 t+\phi_1=0\). Despejando, tenemos que eso ocurrirá cuando \(t=-\dfrac{\phi_1}{\omega_1}\).

Sustituyendo en la ecuación del segundo muelle, tenemos \(y(t)=A_2sen(\omega_2 (-\dfrac{\phi_1}{\omega_1})+\phi_2)\). Por lo tanto, cuando la fase de x(t) es cero, la de y(t) es \(\phi_2-\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\phi_1\). Llamando \(\delta\) a esta diferencia de fase, quedan las ecuaciones paramétricas:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Finalmente, haciendo \(A_1=A_2=1\) (las amplitudes solo influyen en el tamaño de las figuras), tenemos

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

5. Las figuras de Lissajous

Hemos visto que, tras diversas simplificaciones, la trayectoria de una masa sujeta al movimiento de dos muelles perpendiculares entre sí queda descrito por las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

La construcción siguiente muestra dicha trayectoria, que depende de tres parámetros: \(\omega_1\ y \ \omega_2\), que son las frecuencias angulares respectivas de los dos muelles, y \(\delta\), que es la diferencia de fase. La frecuencia angular de un muelle es el número de ciclos completos de contracción-alargamiento (multiplicado por \(2\pi\)) que experimenta el muelle por unidad de tiempo. La diferencia de fase da cuenta del hecho de que, en el momento considerado incial, t = 0, los dos muelles no tienen por qué estar en la misma fase de su recorrido. Si, por ejemplo, en el momento t = 0 ambos muelles están en su máxima elongación, dicha diferencia es cero; pero si uno de ellos está pasando por la posición de equilibrio, entondes la diferencia de fase será de \(\dfrac{\pi}{2}\).

La construcción permite modificar los tres parámetros. Además, el botón Animación hace que \(\delta\) se modifique automáticamente. Finalmente, el deslizador ciclos permite mostrar más tiempo de la trayectoria cuando la figura es complicada. Eso sí: en cuanto mayor es el parámetro ciclos más se ralentiza la animación.

Ahora podemos reccordar nuestro problema inicial, que consistía en encontrar un procedimiento para verificar si las notas producidas por dos diapasones están en una cierta armonía. Desde Pitágoras, sabemos que cada intervalo musical presenta una relación simple entre las frecuencias. Una octava, por ejemplo, se da cuando la frecuencia de uno de los sonidos es doble que la del otro. Un intervalo de quinta, cuando las frecuencias de ambos sonidos están en relación 3:2, etc. Pues bien: basta introducir en la construcción de arriba frecuncias que estén en la relación correspondiente al intervalo deseado para tener la figura de Lissajous que le corresponde. Propongo a continuación algunos de los intervalos musicales más usuales:

• Para \(\omega_1=1\, \ \omega_2=1\) tenemos sonidos unísonos.
• Para \(\omega_1=1\, \ \omega_2=2\) tenemos una octava.
• Para \(\omega_1=2\, \ \omega_2=3\) tenemos el intervalo de quinta.
• Para \(\omega_1=3\, \ \omega_2=4\) tenemos el intervalo de cuarta.
• Para \(\omega_1=4\, \ \omega_2=5\) tenemos una tercera mayor.
• Para \(\omega_1=5\, \ \omega_2=6\) tenemos una tercera menor.
• etc.

Es interesante observar cómo se reflejan las frecuencias angulares en las figuras. Por ejemplo, para el intervalo de quinta \(\omega_1=2\, \ \omega_2=3\), en la figura se aprecian claramente dos lóbulos en vertical y tres en horizontal. Esto se vuelve evidente cuando las frecuencias no están en una relación simple, porque entonces el número de lóbulos se multiplica y la figura se complica enormemente. El caso extremo sería el de dos frecuencias cuyo cociente fuese irracional, pues el número de lóbulos se hace infinito y la figura no se cierra nunca. Por el contrario, si las frecuencias son iguales, las figuras que obtenemos son elipses (o casos degenerados), como observó Lissajous en sus experimentos (para los incrédulos, la demostración matemática aparece un poco más abajo).

En fin, que parece que hemos resuelto el problema de verificar la armonía entre sonidos. Sin embargo, en la construcción vemos que si se modifica la diferencia de fase \(\delta\), las figuras también cambian. Lo hacen de modo continuo y guardando un cierto aire de familia, pero, aun así, son distintas, lo cual es evidentemente insatisfactorio. De una huella digital queremos que sea única, así que vamos a intentar resolver tanta diversidad. Vuelve por favor a la figura de arriba y activa la animación. ¿Qué impresión te da? ¿Qué te parece que estás viendo? Es un movimiento, sí, pero ¿de qué tipo? Si no te interesan las demostraciones, puedes saltarte lo que viene y encontrar la solución a tanta pregunta en Las figuras de Lissajous en tres dimensiones.

6. Demostración de que las figuras de Lissajous correspondientes a frecuencias iguales son elipses (casi siempre).

Vamos a considerar \(\delta\) en el intervalo \([0, \pi]\):

Desarrollando \(y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\), se tiene: \(y(t)=sen(\omega_2 t)cos \delta+cos(\omega_2 t) sen \delta\)

Como \(x=sen(\omega t)\), entonces \(cos(\omega t)=\sqrt{1-x^2}\). Sustituyendo arriba, tenemos:

\[y=x cos \delta+\sqrt{(1-x^2)} sen \delta\]

Quitando la raíz, llegamos a la ecuación \[x^2+y^2-2xy cos \delta=sen^2 \delta\]

que resulta ser la ecuación de una elipse oblicua de semidistancia focal \(c=\sqrt{2 cos \delta}\) (es un buen ejercicio calcular esto), aunque no siempre:

• Para \(\delta =0\), la ecuación queda \(x^2+y^2-2xy=0\) o, lo que es lo mismo, \((x-y)^2=0\), simplificando \(y=x\), es decir, una segmento.
• Para \(\delta =\dfrac{\pi}{2}\), la ecuación queda \(x^2+y^2=1\), es decir, una circunferencia.

7. Las figuras de Lissajous en tres dimensiones

Si has visto la animación del capitulo anterior te abrás dado cuenta de que las figuras de Lissajous, al modificar la diferencia de fase, parecen ser perspectivas de algo que gira. La cuestión entonces estriba en averiguar qué es eso que gira.

Finalmente, representando el movimiento del segundo muelle \(y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\) en la dirección vertical, tenemos

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=cos(\omega_1 t)\\z(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Estas ecuaciones son las que se representan en la siguiente construcción, a la que he añadido en un plano las curvas de Lissajous tal y como las vimos en el capitulo anterior.

Bonito, ¿verdad? Activando la animación se ve perfectamente que las figuras de Lissajous son proyecciones planas de curvas tridimensionales. Ahora podemos entender por qué hay distintas figuras para la misma armonía: porque todas ellas son proyecciones planas, sombras de una figura tridimensional que SÍ es única para cada armonía. Sonidos de igual frecuencia pueden dar elipses de distintas excentricidades, hasta segmentos o circunferencias. ¿Por qué? Pues porque son sombras de una única elipse que gira en tres dimensiones a medida que cambia la diferencia de fase. Las figuras de Lissajous son sombras. Platón estaría encantado.

Resuelto el problema de dibujar la armonía, ¿podemos ir un poco más lejos? Siempre. Un tema interesante sería dibujar acordes en general. Se trataría de encontrar las figuras asociadas no a dos sonidos (o muelles), sino a tres sonidos o más. En principio no parece complicado, aunque, si dos sonidos dan lugar a una figura tridimensional, hay que pensar que tres sonidos darán lugar, al menos, a una figura tetradimensional. Dejo este asunto como ejercicio para el lector.

Lo que si vamos a hacer es considerar el problema con un poco más de realismo. Pensemos en diapasones o en muelles, tanto unos como otros, en la realidad, se paran: la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las curvas no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor. Las consecuencias visuales de esta disipación se ven en el último capítulo de esta historia: El armonógrafo.

Sin embargo, antes de que sigas, una pregunta: ¿tienes unas gafas anaglifo 3D rojo-cian? No te asustes: son las gafas 3D de toda la vida, las de papel celofán. Si el caso es que sí, búscalas, porque con ellas se pueden ver las figuras tridimensionales de Lissajous en verdadero 3D y es, sencillamente, espectacular. Si no tienes, no te preocupes: las puedes comprar o, mejor aún, construirlas utilizando la siguiente plantilla.

8. El armonógrafo

La situación es la siguiente: tenemos dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares (dos muelles o dos diapasones, por poner dos ejemplos). La cosa es que, superadas las siempre eficaces simplificaciones, hay que pensar que, en la realidad, la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las trayectorias que generan no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor, como ya dije.

Introducir la disipación de la energía en las ecuaciones es sencillo: basta multiplicar cada una de las ellas por \(e^{-\mu t}\), donde \(\mu\) marca el ritmo al que el sistema pierde energía:

\[\left\{\begin{array}{l} x(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_1 t)\\y(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\]

Si representamos estas ecuaciones, lo que obtenemos son curvas que se van contrayendo a medida que pasa el tiempo. Si \(\mu=0\) quiere decir que no hay pérdida de energía, por lo que tenemos las figuras de Lissajous originales, pero para cualquier otro valor de \(\mu\) las trayectorias se haccen más y más pequeñas.

La siguiente construcción nos muestra las nuevas trayectorias. Como en las anteriores, podemos controlar las frecuencias angulares, la diferencia de fase, el intervalo de tiempo representado (ciclos) y, esta es la novedad, el parámetro de disipación, \(\mu\).

Estas figuras pueden obtenerse físicamente con un curioso aparato llamado armonógrafo, inventado por Hugh Blackburn en 1844: un péndulo, al oscilar, mueve un brazo con un lápiz que dibuja sobre un papel movido por otro péndulo. Ambos péndulos tienen planos de oscilación perpendiculares. A las figuras dibujadas por el armonógrafo se les llama armonogramas, claro. Como en el caso de las figuras de Lisajous, para pares de frecuencias enteras volvemos a obtener los diseños más simples, mientras que para cocientes menos simples se obtienen figuras más enmarañadas. Sin embargo, en los armonogramas, los patrones más ricos en detalle surgen cuando nos separamos ligeramente de dichas relaciones simples: basta hacer, por ejemplo, \(\omega_1=4\ y\ \omega_2=4,08\), para ver que el patrón obtenido es tan complejo que es, de hecho, fractal. Con el mismo truco que utilizamos para las figuras de Lissajous, hacer circular uno de los movimientos armónicos, podemos pasar los armonogramas a tres dimensiones. Hay que observar que ahora el cambio de fase no produce una rotación, porque la coordenada x no se desarrolla sobre una circunferencia sino sobre una espiral. También hay que tener en cuenta que en cuanto mayor sea el parámetro ciclos más lenta será la animación.

Esta figura aparece en Harmonograph, de Ashton.

(Si has conseguido unas gafas 3D puedes ver estos armonogramas en verdadero 3D).

Que las combinaciones de sonidos naturalmente agradables posean frecuencias relacionadas según razones simples fue una sorpresa extraordinaria, una sorpresa con la que se inauguró la física como descripción matemática del mundo. Que esas mismas combinaciones de sonidos, al convertirlas en imágenes, den lugar a patrones visuales tan elegantes quizá era de esperar, pero la complejidad de algunas de sus formas vuelve a ser motivo de sorpresa, de una agradable sorpresa que dice mucho de nuestra percepción de la belleza: si nos alejamos de las razones simples en seguida entramos en regiones caóticas, donde la trayectoria se vuelve enmarañada y confusa, mientras que en las razones simples encontramos orden y simetría. Sin embargo, y esta es su aportación más interesante, los armonogramas nos muestran que las cosas se ponen realmente atractivas cuando nos desviamos ligeramente de esas relaciones simples y de su fría perfección.

Ya no debería sorprendernos que esto, de nuevo, sea fiel reflejo de cómo percibimos el sonido: es la belleza de la disonancia.