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1. Lissajous y los diapasonesAfinar un instrumento musical es un problema. Salvo aquellos con un oído absoluto, la mayoría de los mortales necesitamos una referencia para poder reproducir un sonido. Para ello, hoy día se utilizan afinadores electrónicos que miden la frecuencia del sonido emitido. Sin embargo, a falta de electrónica, se usaban, y se usan, unas orquillas de metal que al golpearlas producen una cierta nota: los diapasones.
Lissajous hizo varios experimentos para traducir en imágenes movimientos vibratorios. Uno de ellos es el que muestra la figura: colocó en un diapasón un espejito y proyectó sobre él un rayo de luz. Al hacer vibrar el diapasón, el espejito vibró solidariamente con él, y el rayo de luz, al incidir sobre una pantallla, produjo una bonita curva sinusoidal.
Por poner un ejemplo, si ambos diapasones son unísonos, es decir, emiten la misma nota, lo que veremos en la pantalla será una elipse, un segmento o una circunferencia. Para otras relaciones armónicas, las figuras resultantes serán más complejas. 2. Dibujando el sonido con muellesTanto los sonidos emitidos como los dibujos generados en la pantalla son producto de la vibración de los brazos de los diapasones. Esta vibración es un caso de movimiento armónico simple, es decir, un movimiento que oscila periódicamente respecto de una posición de equilibrio bajo el efecto de una fuerza recuperadora. Para estudiar esta vibración, y calcular sus ecuaciones, vamos a pensar en otro movimiento equivalente y más fácil de comprender: el de los muelles. Cogemos un muelle, fijamos uno de sus extremos, y unimos el otro a una cierta masa. Es evidente que si estiramos el muelle más allá de su posición de equilibrio, este se contraerá, pasará por dicha posición de equilibro, llegará a un mínimo e inicará el camino inverso. Si no consideramos ningún rozamiento, el muelle repetirá este proceso indefinidamente. La velocidad y frecuencia dependerán de la masa que unamos al muelle, de la posición inicial y de la constante de elasticidad del muelle (\(k_1\)).
Para simular las vibraciones que los dos diapasones perpendiculares transmiten al rayo de luz, vamos a sustituir ahora la masa del extremo libre del muelle por una plataforma perpendicular al movimiento en la que vamos a fijar un segundo muelle al que unimos una segunda masa.
Visto el modelo, vamos a obtener las ecuaciones del movimiento de la masa movida por el segundo muelle, lo que nos permitirá estudiar las trayectorias con más detenimiento y, al ser modelos equivalentes, las figuras asociadas a cada par de sonidos. Si el asunto de las ecuaciones no va contigo, puedes pasar directamente a las Las figuras de Lissajous. 3. La ecuación del muelle (un poco de física)Los físicos nos dicen que la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es proporcional a la elongación, es decir, a la distancia a la que llevamos el muelle del punto de equilibrio, y de sentido contrario: si lo estiramos, la fuerza hará por contraer el muelle, y si lo comprimimos, por estirarlo. Es decir: \[f=-kx\] Como sabemos que \(f=ma\), siendo m la masa y a la aceleración, tenemos que \(ma=-kx\). Despejando, \[a=-\dfrac{k}{m}x\] La aceleración es una función del tiempo, por lo que la ecuación anterior es una ecuación diferencial: \[\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x\] cuya solución es \[x(t)=Asen\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t+\phi\right)\] Veamos que significa cada símbolo.
Así la ecuación del muelle queda \[x(t)=Asen(\omega t+\phi)\] que es, en general, la ecuación de un movimiento armónico simple. 4. Las ecuaciones de dos muelles perpendicularesEn el sistema de dos muelles, cada uno de ellos nos da una coordenada: \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t+\phi_1)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\phi_2)\end{array}\right.\] Para simplificar un poco las cosas, vamos a clacular la diferencia de fase entre los dos muelles. En el caos del primer muelle, su fase será cero cuando \(\omega_1 t+\phi_1=0\). Despejando, tenemos que eso ocurrirá cuando \(t=-\dfrac{\phi_1}{\omega_1}\). Sustituyendo en la ecuación del segundo muelle, tenemos \(y(t)=A_2sen(\omega_2 (-\dfrac{\phi_1}{\omega_1})+\phi_2)\). Por lo tanto, cuando la fase de x(t) es cero, la de y(t) es \(\phi_2-\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\phi_1\). Llamando \(\delta\) a esta diferencia de fase, quedan las ecuaciones paramétricas: \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=A_1sen(\omega_1 t)\\y(t)=A_2sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\] Finalmente, haciendo \(A_1=A_2=1\) (las amplitudes solo influyen en el tamaño de las figuras), tenemos \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\] 5. Las figuras de LissajousHemos visto que, tras diversas simplificaciones, la trayectoria de una masa sujeta al movimiento de dos muelles perpendiculares entre sí queda descrito por las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\] La construcción siguiente muestra dicha trayectoria, que depende de tres parámetros: \(\omega_1\ y \ \omega_2\), que son las frecuencias angulares respectivas de los dos muelles, y \(\delta\), que es la diferencia de fase. La frecuencia angular de un muelle es el número de ciclos completos de contracción-alargamiento (multiplicado por \(2\pi\)) que experimenta el muelle por unidad de tiempo. La diferencia de fase da cuenta del hecho de que, en el momento considerado incial, t = 0, los dos muelles no tienen por qué estar en la misma fase de su recorrido. Si, por ejemplo, en el momento t = 0 ambos muelles están en su máxima elongación, dicha diferencia es cero; pero si uno de ellos está pasando por la posición de equilibrio, entondes la diferencia de fase será de \(\dfrac{\pi}{2}\). La construcción permite modificar los tres parámetros. Además, el botón Animación hace que \(\delta\) se modifique automáticamente. Finalmente, el deslizador ciclos permite mostrar más tiempo de la trayectoria cuando la figura es complicada. Eso sí: en cuanto mayor es el parámetro ciclos más se ralentiza la animación.
Ahora podemos reccordar nuestro problema inicial, que consistía en encontrar un procedimiento para verificar si las notas producidas por dos diapasones están en una cierta armonía. Desde Pitágoras, sabemos que cada intervalo musical presenta una relación simple entre las frecuencias. Una octava, por ejemplo, se da cuando la frecuencia de uno de los sonidos es doble que la del otro. Un intervalo de quinta, cuando las frecuencias de ambos sonidos están en relación 3:2, etc. Pues bien: basta introducir en la construcción de arriba frecuncias que estén en la relación correspondiente al intervalo deseado para tener la figura de Lissajous que le corresponde. Propongo a continuación algunos de los intervalos musicales más usuales:
Es interesante observar cómo se reflejan las frecuencias angulares en las figuras. Por ejemplo, para el intervalo de quinta \(\omega_1=2\, \ \omega_2=3\), en la figura se aprecian claramente dos lóbulos en vertical y tres en horizontal. Esto se vuelve evidente cuando las frecuencias no están en una relación simple, porque entonces el número de lóbulos se multiplica y la figura se complica enormemente. El caso extremo sería el de dos frecuencias cuyo cociente fuese irracional, pues el número de lóbulos se hace infinito y la figura no se cierra nunca. Por el contrario, si las frecuencias son iguales, las figuras que obtenemos son elipses (o casos degenerados), como observó Lissajous en sus experimentos (para los incrédulos, la demostración matemática aparece un poco más abajo). En fin, que parece que hemos resuelto el problema de verificar la armonía entre sonidos. Sin embargo, en la construcción vemos que si se modifica la diferencia de fase \(\delta\), las figuras también cambian. Lo hacen de modo continuo y guardando un cierto aire de familia, pero, aun así, son distintas, lo cual es evidentemente insatisfactorio. De una huella digital queremos que sea única, así que vamos a intentar resolver tanta diversidad. Vuelve por favor a la figura de arriba y activa la animación. ¿Qué impresión te da? ¿Qué te parece que estás viendo? Es un movimiento, sí, pero ¿de qué tipo? Si no te interesan las demostraciones, puedes saltarte lo que viene y encontrar la solución a tanta pregunta en Las figuras de Lissajous en tres dimensiones. 6. Demostración de que las figuras de Lissajous correspondientes a frecuencias iguales son elipses (casi siempre).
7. Las figuras de Lissajous en tres dimensionesSi has visto la animación del capitulo anterior te abrás dado cuenta de que las figuras de Lissajous, al modificar la diferencia de fase, parecen ser perspectivas de algo que gira. La cuestión entonces estriba en averiguar qué es eso que gira.
Finalmente, representando el movimiento del segundo muelle \(y(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\) en la dirección vertical, tenemos \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=sen(\omega_1 t)\\y(t)=cos(\omega_1 t)\\z(t)=sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\] Estas ecuaciones son las que se representan en la siguiente construcción, a la que he añadido en un plano las curvas de Lissajous tal y como las vimos en el capitulo anterior. Bonito, ¿verdad? Activando la animación se ve perfectamente que las figuras de Lissajous son proyecciones planas de curvas tridimensionales. Ahora podemos entender por qué hay distintas figuras para la misma armonía: porque todas ellas son proyecciones planas, sombras de una figura tridimensional que SÍ es única para cada armonía. Sonidos de igual frecuencia pueden dar elipses de distintas excentricidades, hasta segmentos o circunferencias. ¿Por qué? Pues porque son sombras de una única elipse que gira en tres dimensiones a medida que cambia la diferencia de fase. Las figuras de Lissajous son sombras. Platón estaría encantado. Resuelto el problema de dibujar la armonía, ¿podemos ir un poco más lejos? Siempre. Un tema interesante sería dibujar acordes en general. Se trataría de encontrar las figuras asociadas no a dos sonidos (o muelles), sino a tres sonidos o más. En principio no parece complicado, aunque, si dos sonidos dan lugar a una figura tridimensional, hay que pensar que tres sonidos darán lugar, al menos, a una figura tetradimensional. Dejo este asunto como ejercicio para el lector. Lo que si vamos a hacer es considerar el problema con un poco más de realismo. Pensemos en diapasones o en muelles, tanto unos como otros, en la realidad, se paran: la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las curvas no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor. Las consecuencias visuales de esta disipación se ven en el último capítulo de esta historia: El armonógrafo. Sin embargo, antes de que sigas, una pregunta: ¿tienes unas gafas anaglifo 3D rojo-cian? No te asustes: son las gafas 3D de toda la vida, las de papel celofán. Si el caso es que sí, búscalas, porque con ellas se pueden ver las figuras tridimensionales de Lissajous en verdadero 3D y es, sencillamente, espectacular. Si no tienes, no te preocupes: las puedes comprar o, mejor aún, construirlas utilizando la siguiente plantilla. 8. El armonógrafoLa situación es la siguiente: tenemos dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares (dos muelles o dos diapasones, por poner dos ejemplos). La cosa es que, superadas las siempre eficaces simplificaciones, hay que pensar que, en la realidad, la energía se disipa y los unos oscilan y los otros vibran cada vez menos, de modo que las trayectorias que generan no se cierran sobre sí mismas porque su amplitud es, cada vez, menor, como ya dije. Introducir la disipación de la energía en las ecuaciones es sencillo: basta multiplicar cada una de las ellas por \(e^{-\mu t}\), donde \(\mu\) marca el ritmo al que el sistema pierde energía: \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_1 t)\\y(t)=e^{-\mu t}sen(\omega_2 t+\delta)\end{array}\right.\] Si representamos estas ecuaciones, lo que obtenemos son curvas que se van contrayendo a medida que pasa el tiempo. Si \(\mu=0\) quiere decir que no hay pérdida de energía, por lo que tenemos las figuras de Lissajous originales, pero para cualquier otro valor de \(\mu\) las trayectorias se haccen más y más pequeñas. La siguiente construcción nos muestra las nuevas trayectorias. Como en las anteriores, podemos controlar las frecuencias angulares, la diferencia de fase, el intervalo de tiempo representado (ciclos) y, esta es la novedad, el parámetro de disipación, \(\mu\).
(Si has conseguido unas gafas 3D puedes ver estos armonogramas en verdadero 3D). Que las combinaciones de sonidos naturalmente agradables posean frecuencias relacionadas según razones simples fue una sorpresa extraordinaria, una sorpresa con la que se inauguró la física como descripción matemática del mundo. Que esas mismas combinaciones de sonidos, al convertirlas en imágenes, den lugar a patrones visuales tan elegantes quizá era de esperar, pero la complejidad de algunas de sus formas vuelve a ser motivo de sorpresa, de una agradable sorpresa que dice mucho de nuestra percepción de la belleza: si nos alejamos de las razones simples en seguida entramos en regiones caóticas, donde la trayectoria se vuelve enmarañada y confusa, mientras que en las razones simples encontramos orden y simetría. Sin embargo, y esta es su aportación más interesante, los armonogramas nos muestran que las cosas se ponen realmente atractivas cuando nos desviamos ligeramente de esas relaciones simples y de su fría perfección. Ya no debería sorprendernos que esto, de nuevo, sea fiel reflejo de cómo percibimos el sonido: es la belleza de la disonancia.
Apendice 1 Las figuras tridimensionales de Lissajous en3D
Apéndice 2 Los armonogramas en 3D
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Hace un año Luis Gómez me envió los hermosos gráficos de la figura de la derecha. Los encontró en El libro de las curvas, de Olalquiaga y Olalquiaga, aunque no son de allí. Los de la izquierda se supone que pertenecen al libro Index to the Geometric Chuck, de Thomas Bazley, aunque lo cierto es que, pese a aparecer allí miles de figuras, entre ellas no he encontrado la que nos ocupa.
Sin embargo, las curvas que llamaron mi atención son las de la derecha, las que aparecen sobre fondo negro. En concreto, en las dos columnas de la izquierda reconocí las figuras de Lissajous, de las que me habló por primera vez hace muchos años mi compañero Paco Carbajo. Las programé en Pascal, y lo hice mal, ahora lo sé, porque simule una masa sujeta a varios muelles que tiraban de ella. Salieron curvas interesantes, pero no eran las de Lissajous.
He localizado estas figuras en la obra Harmonograf, de Anthony Ashton, aunque, por las referencias, no tengo claro si son originales de allí.
Cuando uno busca en la red las figuras de Lissajous aparecen inevitablemente unos grabados representando sus experimentos, los mismos que he reproducido más arriba: ambos corresponden a la obra Sound, de John Tyndal.
Para mayor gloria de internet, algunas de las obras mencionadas, también el artículo original de Lissajous, se pueden leer en la red.
► Laboratorio: Armonógrafo rotatorio
► Bestiario: física.
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Sitio + o - matemático de Alberto Rodríguez Santos. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades. ![]() ![]() ![]() ![]() |