Triángulo aritmético; o triángulo de Pascal; o triángulo de Tartaglia

Es un triángulo formado por números cuya primera fila contiene únicamente el 1 y las siguientes se componen de las sumas dos a dos de los números de la fila anterior, considerando que si no hay número pues tenemos un cero.

Entre otras muchísimas cosas, proporciona los coeficientes de las potencias de un binomio, pues el triángulo de arriba se corresponde con el de abajo, construido con números combinatorios:

\[\displaystyle\binom{0}{0}\]

\[\displaystyle\binom{1}{0}\ \displaystyle\binom{1}{1}\]

\[\displaystyle\binom{2}{0}\ \displaystyle\binom{2}{1}\ \displaystyle\binom{2}{2}\]

\[\ \displaystyle\binom{3}{0}\ \displaystyle\binom{3}{1}\ \displaystyle\binom{3}{2}\ \displaystyle\binom{3}{3}\]

\[\displaystyle\binom{4}{0}\ \displaystyle\binom{4}{1}\ \displaystyle\binom{4}{2}\ \displaystyle\binom{4}{3}\ \displaystyle\binom{4}{4}\]

En la fórmula del binomio se puede ver un ejemplo de lo que quiero decir.

Aunque podría haber dudas acerca de si el triángulo aritmético fue descubierto por Tartaglia o Pascal, resulta que no se le debe a ninguno de los dos: hay documentos chinos con el triángulo de 1303, y se sabe que el poeta (absolutamente recomendable) y matemático Omar Khayyam ya lo conocía allá por el 1100. No sería hasta el Renacimiento cuando llega, o se reinventa, eso no lo sé, a Europa.

El que se le asocie el nombre de Pascal se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartaglia viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa. Y es que por aquellos tiempos el tema de la autoría no se cuidaba demasiado.

• Historias matemáticas: Antes de Mandelbrot: el triángulo de Sierpinsky.
• Laboratorio: Dos triángulos: el de Pascal y el de Sierpinsky.
• Retrato de Tartaglia.
• Fragmentos: Interpretación geométrica del triángulo de Pascal.