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Errores y cotas
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11º aniversario
 

Se llama error absoluto a la diferencia entre el valor exacto y el aproximado en valor absoluto: \[E_a=|V_e-V_a|\]

Se llama error relativo al cociente entre el error aboluto y el valor exacto: \[E_r=\frac{E_a}{V_e}\]

En el caso en que el valor real sea un número irracional no pueden realizarse los cálculos anteriores con exactitud por tener su desarrollo decimal infinitas cifras y no poder exprexarse en forma fraccionaria. Por eso se utilizan cotas.

Una cota del error absoluto es un numero \(\epsilon\) que cumple \[E_a\leq \epsilon\]

En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del orden n de la última cifra significativa: \[\epsilon = \frac{1}{10^n}\]

El orden n será uno si la última cifra significativa corresponde a las décimas, dos si corresponde a las centésimas, tres a las milésimas y así sucesivamente.

Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una cota de error absoluto es media unidad del orden n de la última cifra significativa: \[\epsilon = \frac{1}{2·10^n}\]

A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error relativo. Teniendo en cuenta que \(E_a\leq \epsilon\) y la definición del error relativo, se tiene:

\[E_r=\frac{E_a}{V_e}\leq \frac{\epsilon}{V_e}\]                          

Como se ha dicho, si el valor exacto es irracional no puede utilizarse en los cálculos. En este caso, se utiliza la fórmula:

\[E_r\leq\frac{\epsilon}{V_a-\epsilon}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\]

Ejemplo: redondear el número \(\pi\) a las milésimas y acotar los errores absoluto y relativo:

Redondeo: \(3,142\)

Cota de error absoluto: \(E_a \leq \dfrac{1}{2·10^3}= 0,0005\)

Cota de error relativo: \(E_r \leq \dfrac{0,0005}{3,142-0,0005}=0,000159\)

 

(*) Explicación de la fórmula

En el caso de que \(V_a \geq \epsilon\), se tiene

\[E_a\leq \epsilon\]

\[|V_a-V_r|\leq \epsilon\]

\[V_a-V_r\leq \epsilon\]

\[V_a-\epsilon\leq V_r \]

Sustituyendo en \[E_r\leq \frac{\epsilon}{V_r}\]:

\[E_r\leq \frac{\epsilon}{V_r}\leq\frac{\epsilon}{V_a-\epsilon}\]

\[E_r\leq\frac{\epsilon}{V_a-\epsilon}\]

 
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Alberto Rodriguez Santos
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