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Funciones racionales
      11º aniversario

Funciones racionales

  • Son aquellas cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios, siendo el polinomio del denominador de grado mayor que 0. Por ejemplo: \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^{17}-5x+15}\)
  • Vamos a estudiar solo un tipo de funciones racionales, el de aquellas funciones cuya gráfica es una hipérbola.

1) Función de proporcionalidad inversa.

  • Es el tipo de función racional más sencillo.
  • Son de la forma: \(f(x)=\dfrac{k}{x}\), donde k es un número real.
  • Si en vez de \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) ponemos \(y=\dfrac{k}{x}\), se ve que \(x·y=k\), es decir, que x e y son inversamente proporcionales.
  • Su gráfica se llama hipérbola y consta de dos ramas encajadas en cuadrantes opuestos.
  • CARACTERÍSTICAS:
    • Su dominio es \(R-\{0\}\).
    • Tienen dos asíntotas que son los ejes coordenados.
      • Asíntota horizontal: su ecuación es \(y=0\).
      • Asíntota vertical: su ecuación es \(x=0\)
    • Cuadrantes:
      • Si k>0, ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
      • Si k<0, ocupa los cuadrantes 2º y 4º.
    • Presenta simetría impar, por lo que es simétrica respecto del origen.
  • EJEMPLO:
    • \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
    • Su gráfica se ve a la derecha..
    • Características:
      • \(Dom(f)=R-\{0\}\).
      • Asíntotas: los ejes coordenados.
        • Asíntota horizontal: \(y=0\).
        • Asíntota vertical: \(x=0\)
      • Cuadrantes:
        • Si k=1>0, luego ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
      • Simetría impar. \(f(-x)=\dfrac{1}{(-x)}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)\)

 

 

2) Desplazamiento horizontal.

  • ¿Qué pasa si le sumamos o le restamos un número a la x? Lo que ocurre es que la gráfica de la función se despalaza en horizontal. Si le sumamos un número, se irá a la izquierda. Si se lo restamos, a la derecha. La gráfica no cambia, sólo se desplaza y , al moverse en horizontal, la asíntota horizontal no cambia, pero sí la vertical.
  • EJEMPLO
    • \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\)

 

 

 

 

 

 

 

3) Desplazamiento vertical.

  • ¿Qué pasa si le sumamos o le restamos un número a la función? Lo que ocurre es que la gráfica de la función se desplaza en vertical. Si le sumamos un número, se irá hacia arriba y si se lo restamos, hacia abajo. La gráfica no cambia, sólo se desplaza y , al moverse en vertical, la asíntota vertical no cambia, pero sí la horizontal.
  • EJEMPLO
    • \(f(x)=\dfrac{1}{x}+2\)

 

 

 

 

 

 

4) Caso general de hipérbola.

  • Lo obtenemos a partir del caso sencillo de la función de proporcionalidad inversa sumando, o restando, un número a la x y a la función.
  • Son, por tanto, de la forma: \(f(x)=\dfrac{k}{x-a}+b\)
  • Su gráfica es una hipérbola como la de la función de proporcionalidad inversa, pero desplazada a unidades en horizontal y b unidades en vertical.
  • CARACTERÍSTICAS
    • Su dominio es \(R-\{a\}\).
    • Sus asíntotas ahora son:
      • Asíntota horizontal: \(y=b\).
      • Asíntota vertical: \(x=a\)
    • Cuadrantes: si consideramos los cuadrantes delimitados por las asíntotas, tenemos, como en el caso anterior:
      • Si k>0, ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
      • Si k<0, ocupa los cuadrantes 2º y 4º.
    • No presenta simetría par ni impar, aunque la gráfica es simétrica respecto del punto (a, b), es decir, respecto del punto donde se cortan las asíntotas.
  • EJEMPLO:
    • \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2\)
    • Su gráfica se ve a la derecha.
    • Características:
      • \(Dom(f)=R-\{3\}\).
      • Asíntotas: los ejes coordenados.
        • Asíntota horizontal: \(y=2\).
        • Asíntota vertical: \(x=3\)
      • Cuadrantes:
        • Si k=1>0, luego ocupa los cuadrantes 1º y 3º de los definidos por las asíntotas.
      • No tiene simetría par ni impar.

 

 

5) En la siguiente construcción puedes ver el efecto de modificar k, a y b.

 
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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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