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Epsiclas |
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Funciones racionales |
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Funciones racionales
- Son aquellas cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios, siendo el polinomio del denominador de grado mayor que 0. Por ejemplo: \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^{17}-5x+15}\)
- Vamos a estudiar solo un tipo de funciones racionales, el de aquellas funciones cuya gráfica es una hipérbola.
1) Función de proporcionalidad inversa.
- Es el tipo de función racional más sencillo.
- Son de la forma: \(f(x)=\dfrac{k}{x}\), donde k es un número real.
- Si en vez de \(f(x)=\dfrac{k}{x}\) ponemos \(y=\dfrac{k}{x}\), se ve que \(x·y=k\), es decir, que x e y son inversamente proporcionales.
- Su gráfica se llama hipérbola y consta de dos ramas encajadas en cuadrantes opuestos.
- CARACTERÍSTICAS:
- Su dominio es \(R-\{0\}\).
- Tienen dos asíntotas que son los ejes coordenados.
- Asíntota horizontal: su ecuación es \(y=0\).
- Asíntota vertical: su ecuación es \(x=0\)
- Cuadrantes:
- Si k>0, ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
- Si k<0, ocupa los cuadrantes 2º y 4º.
- Presenta simetría impar, por lo que es simétrica respecto del origen.
- EJEMPLO:
- \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)
- Su gráfica se ve a la derecha..
- Características:
- \(Dom(f)=R-\{0\}\).
- Asíntotas: los ejes coordenados.
- Asíntota horizontal: \(y=0\).
- Asíntota vertical: \(x=0\)
- Cuadrantes:
- Si k=1>0, luego ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
- Simetría impar. \(f(-x)=\dfrac{1}{(-x)}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)\)
2) Desplazamiento horizontal.
- ¿Qué pasa si le sumamos o le restamos un número a la x? Lo que ocurre es que la gráfica de la función se despalaza en horizontal. Si le sumamos un número, se irá a la izquierda. Si se lo restamos, a la derecha. La gráfica no cambia, sólo se desplaza y , al moverse en horizontal, la asíntota horizontal no cambia, pero sí la vertical.
EJEMPLO
3) Desplazamiento vertical.
- ¿Qué pasa si le sumamos o le restamos un número a la función? Lo que ocurre es que la gráfica de la función se desplaza en vertical. Si le sumamos un número, se irá hacia arriba y si se lo restamos, hacia abajo. La gráfica no cambia, sólo se desplaza y , al moverse en vertical, la asíntota vertical no cambia, pero sí la horizontal.
EJEMPLO
4) Caso general de hipérbola.
- Lo obtenemos a partir del caso sencillo de la función de proporcionalidad inversa sumando, o restando, un número a la x y a la función.
- Son, por tanto, de la forma: \(f(x)=\dfrac{k}{x-a}+b\)
- Su gráfica es una hipérbola como la de la función de proporcionalidad inversa, pero desplazada a unidades en horizontal y b unidades en vertical.
- CARACTERÍSTICAS
- Su dominio es \(R-\{a\}\).
- Sus asíntotas ahora son:
- Asíntota horizontal: \(y=b\).
- Asíntota vertical: \(x=a\)
- Cuadrantes: si consideramos los cuadrantes delimitados por las asíntotas,
tenemos, como en el caso anterior:
- Si k>0, ocupa los cuadrantes 1º y 3º.
- Si k<0, ocupa los cuadrantes 2º y 4º.
- No presenta simetría par ni impar, aunque la gráfica es simétrica respecto del punto (a, b), es decir, respecto del punto donde se cortan las asíntotas.
- EJEMPLO:
- \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}+2\)
- Su gráfica se ve a la derecha.
- Características:
- \(Dom(f)=R-\{3\}\).
- Asíntotas: los ejes coordenados.
- Asíntota horizontal: \(y=2\).
- Asíntota vertical: \(x=3\)
- Cuadrantes:
- Si k=1>0, luego ocupa los cuadrantes 1º y 3º de los definidos por las asíntotas.
- No tiene simetría par ni impar.
5) En la siguiente construcción puedes ver el efecto de modificar k, a y b.
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